Giải bài 5 trang 27 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ ℕ , x³ > x;

b) ∀x ∈ ℤ, x ∉ ℕ;

c) ∀x ∈ ℝ, nếu x ∈ ℤ thì x ∈ Q.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta cần nhớ định nghĩa của các tập hợp số và ý nghĩa của kí hiệu $\forall$.

• Mệnh đề đúng: Mệnh đề đúng khi nó đúng với mọi giá trị của biến thuộc tập hợp đã cho.

• Mệnh đề sai: Mệnh đề sai khi nó sai với ít nhất một giá trị của biến thuộc tập hợp đã cho. Một ví dụ cụ thể làm cho mệnh đề sai được gọi là ví dụ phản chứng.

• Các tập hợp số:

  • $\mathbb{N}$: Tập hợp các số tự nhiên ($0,1,2,...$)

  • $\mathbb{Z}$: Tập hợp các số nguyên ($...,-2,-1,0,1,2,...$)

  • $\mathbb{Q}$: Tập hợp các số hữu tỉ.

  • $\mathbb{R}$: Tập hợp các số thực.

Chúng ta sẽ phân tích từng mệnh đề và tìm ví dụ phản chứng nếu có.

Lời giải chi tiết:

a) ∀x ∈ ℕ , x³ > x

Ta thấy rằng với x = 0 là số tự nhiên nhưng x³ = 0 = x.

Do đó tồn tại giá trị của x không thỏa mãn x³ > x.

Vì vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

b) ∀x ∈ ℤ, x ∉ ℕ

Chọn x = 1 ∈ ℤ nhưng 1 vẫn là số tự nhiên.

Do đó tồn tại số nguyên là số tự nhiên.

Vì vậy mệnh đề b) sai.

c) ∀x ∈ ℝ, nếu x ∈ ℤ thì x ∈ Q.

Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ nên mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.