Viết phương trình Đường tròn và phương trình tiếp tuyến của đường tròn? Toán 10 chân trời tập 2 chương 9 bài 3

Cách viết phương trình Đường tròn và phương trình tiếp tuyến của đường tròn. như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Phương trình đường tròn

Viết phương trình đường tròn.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.

Phương trình (x – a)² + (y – b)² = R² được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.

* Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

b) (C) có tâm I(2; -2), bán kính R = 8;

c) (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

* Lời giải:

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là:

(x – 0)² + (y – 0)² = 4²

⇔ x² + y² = 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x² + y² = 16.

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; -2), bán kính R = 8 là:

(x – 2)² + (y + 2)² = 8²

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là (x – 2)² + (y + 2)² = 8².

c) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:

Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

AI = BI = CI = R

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

Suy ra tâm I(2; 2)

Bán kính của đường tròn (C) là:

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 2)² + (y – 2)² = 

⇔ (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

* Nhận xét: Ta có (x – a)² + (y – b)² = R²

⇔ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

Vậy phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể được viết dưới dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a² + b² – R².

Ngược lại, phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính 

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn là:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0 tại điểm A(4; 6).

* Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 25

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 5²

Suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(4; 6) là:

(1 – 4)(x – 4) + (2 – 6)(y – 6) = 0

⇔ - 3(x – 4) – 4(y – 6) = 0

⇔ 3x + 4y – 36 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(4; 5) là: 3x + 4y – 36 = 0.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 5 tại điểm M(3; –1).

* Lời giải:

Ta có (3 – 2)² + (–1 + 3)² = 5.

Suy ra M ∈ (C).

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).

Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:

(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.

⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.

⇔ –x – 2y + 1 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.