Viết phương trình Đường tròn và phương trình tiếp tuyến của đường tròn? Toán 10

Làm sao để lập phương trình đường tròn hay xác định phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn nhanh chóng và chính xác? HayHocHoi.Vn sẽ cùng các em hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải qua các ví dụ minh họa chi tiết ngay dưới đây!

1. Phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một đường tròn $(C)$ được xác định duy nhất khi biết tọa độ tâm $I$ và độ dài bán kính $R$.

Dạng chính tắc

Phương trình đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ có dạng:

Các ví dụ minh họa lập phương trình đường tròn

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $O(0; 0)$ và bán kính $R = 4$.

• Lời giải: Áp dụng công thức chính tắc, phương trình đường tròn là:

  $$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 16$$

b) $(C)$ có tâm $I(2; -2)$ và bán kính $R = 8$.

• Lời giải: Phương trình đường tròn $(C)$ là:

  $$(x - 2)^2 + [y - (-2)]^2 = 8^2 \Leftrightarrow (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 64$$

c) $(C)$ đi qua ba điểm $A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3)$ (Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).

• Lời giải: Gọi $I(a; b)$ là tâm của đường tròn $(C)$. Ta có độ dài các đoạn thẳng từ tâm đến 3 đỉnh bằng bán kính: $AI = BI = CI = R \Leftrightarrow AI^2 = BI^2 = CI^2$.

  • $AI^2 = (a - 1)^2 + (b - 4)^2$

  • $BI^2 = a^2 + (b - 1)^2$

  • $CI^2 = (a - 4)^2 + (b - 3)^2$

  Ta lập hệ phương trình biến đổi:

  $$\begin{cases} (a - 1)^2 + (b - 4)^2 = a^2 + (b - 1)^2 \\ (a - 4)^2 + (b - 3)^2 = a^2 + (b - 1)^2 \end{cases}$$
  $$\Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 2a + 1 + b^2 - 8b + 16 = a^2 + b^2 - 2b + 1 \\ a^2 - 8a + 16 + b^2 - 6b + 9 = a^2 + b^2 - 2b + 1 \end{cases}$$
  $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a + 6b = 16 \\ 8a + 4b = 24 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + 3b = 8 \\ 2a + b = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \end{cases}$$

  Suy ra tâm đường tròn là $I(2; 2)$. Bán kính đường tròn tính theo $BI$:

  $$R^2 = a^2 + (b - 1)^2 = 2^2 + (2 - 1)^2 = 5$$

• Kết luận: Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$ và một điểm $M_0(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn đó. Tiếp tuyến $\Delta$ của đường tròn tại điểm $M_0$ sẽ vuông góc với bán kính $IM_0$ tại điểm $M_0$.

Do đó, tiếp tuyến $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{M_0I} = (a - x_0; b - y_0)$ làm vectơ pháp tuyến.

Công thức tổng quát của tiếp tuyến tại một điểm:

Các ví dụ minh họa lập phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ tại điểm $A(4; 6)$.

• Lời giải: Biến đổi phương trình đường tròn $(C)$ về dạng chính tắc để tìm tâm:

  $$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 20 + 1 + 4 \Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$

  Suy ra đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 2)$ và bán kính $R = 5$.

  Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $A(4; 6)$ là:

  $$(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0$$
  $$\Leftrightarrow -3(x - 4) - 4(y - 6) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$$

• Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x + 4y - 36 = 0$.

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(C): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$ tại điểm $M(3; -1)$.

• Lời giải:

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -3)$. Điểm $M(3; -1)$ thuộc đường tròn vì $(3-2)^2 + (-1+3)^2 = 5$ (thỏa mãn phương trình).

  Phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(3; -1)$ là:

  $$(2 - 3)(x - 3) + [-3 - (-1)][y - (-1)] = 0$$
  $$\Leftrightarrow -1(x - 3) + (-2)(y + 1) = 0$$
  $$\Leftrightarrow -x + 3 - 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow -x - 2y + 1 = 0$$

• Kết luận: Phương trình tiếp tuyến $d$ cần tìm là $-x - 2y + 1 = 0$ (hoặc $x + 2y - 1 = 0$).