Khái niệm Tập hợp, Tập con và hai tập hợp bằng nhau là gì, một số tập con của tập số thực? Toán 10 chân trời tập 1 chương 1 bài 2

Khái niệm Tập hợp, Tập con và hai tập hợp bằng nhau là gì, một số tập con của tập số thực như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Nhắc lại về tập hợp

• Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử của tập hợp đó.

• Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C, … và kí hiệu phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường a, b, c, ….

* Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp”.

• Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là “a thuộc A”). Để chỉ a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là “a không thuộc A”).

* Ví dụ: 

- Để chỉ 9 là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết 9 ∈ ℕ.

- Để chỉ –5 không là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết –5 ∉ ℕ.

• Một tập hợp có thể không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅.

• Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau: ℕ là tập hợp các số tự nhiên, ℤ là tập hợp các số nguyên, ℚ là tập hợp các số hữu tỉ, ℝ là tập hợp các số thực.

* Cách xác định tập hợp

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

* Chú ý: Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:

+ Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.

Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x.(x – 1) = 0, ta có thể viết A = {0; 1} hoặc A = {1; 0}.

+ Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.

Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ “mathematics” thì B = {m; a; t; g; e; i; c; s}.

+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 60 có thể viết là {0; 1; 2; …; 60}.

• Có những tập hợp ta có thể đếm hết các phần tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.

* Ví dụ: Cho tập hợp D các số tự nhiên chia hết cho 5 và lớn hơn 5 nhưng nhỏ hơn 25. Mô tả tập hợp D theo hai cách:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: D = {10; 15; 20}.

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 5, 5 < n < 25}.

2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau

• Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B (đọc là A chứa trong B), hoặc B ⊃ A (đọc là B chứa A).

* Nhận xét:

+ A ⊂ A và ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

+ Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊄ B (đọc là A không chứa trong B hoặc B không chứa A).

+ Nếu A ⊂ B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.

• Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.

Ta có thể minh họa A là tập con của B bằng biểu đồ Ven như hình sau:

* Chú ý: Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm:  ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

* Ví dụ: Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A = {} và B = {x ∈ ℝ | x² – 3 = 0};

b) C là tập hợp các tam giác đều và D là tập hợp các tam giác cân;

c) E = {x ∈ ℕ | x là ước của 12} và F = {x ∈ ℕ | x là ước của 24}.

* Lời giải:

a) Xét phương trình x² – 3 = 0 ⇔ x =  hoặc x = 

Khi đó B = {}

Ta thấy các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B nên A ⊂ B.

Ngược lại các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A nên B ⊂ A.

⇒ A = B.

b) Ta có tam giác đều là tam giác cân.

Suy ra các phần tử của tập hợp C đều thuộc tập hợp D nên C ⊂ D.

Nhưng không phải tất cả tam giác cân đều là tam giác đều. Suy ra không phải tất cả các phần tử của tập hợp D đều thuộc hợp C nên D không là tập con của tập C.

⇒ C ≠ D.

c) Ta có: Ư(12) = {-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}

Khi đó E = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Ta lại có Ư(24) = {-24; -12; -8; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Khi đó F = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Ta thấy các phần tử của tập hợp E thuộc tập hợp F nên E ⊂  F.

Nhưng các phần tử 8; 24 của tập hợp F không thuộc tập hợp E nên F không là tập con của tập E.

⇒ D ≠ E.

3. Một số tập con của tập hợp số thực

Ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (a và b là các số thực, a < b):

Trong các kí hiệu trên, kí hiệu –∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng).

* Ví dụ: Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết các tập hợp sau đây:

a) {x ∈ R | –2 < x < 3}

b) {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 10}

c) {x ∈ R | –5 < x ≤ }

d) {x ∈ R | π ≤ x < 4}

e) {x ∈ R | x < 1/4}

g) {x ∈ R | x ≥ π/2}

* Lời giải:

a) {x ∈ R | –2 < x < 3} = (–2; 3)

b) {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 10} = [1; 10]

c) {x ∈ R | –5 < x ≤ } = (–5; –]

d) {x ∈ R | π ≤ x < 4} = [π; 4)

e) {x ∈ R | x < 1/4} = (–∞; 1/4)

g) {x ∈ R | x ≥ π/2} = [π/2; +∞)