Khái niệm Vectơ là gì, hai Vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau, đối nhau? Toán 10 chân trời tập 1 chương 5 bài 1

Tổng Hợp Lý Thuyết Bài 1: Khái Niệm Vectơ (Toán 10, Chân Trời Sáng Tạo)

Khái niệm Vectơ là gì, hai Vectơ cùng phương, cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, đối nhau như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Định nghĩa vectơ

•Vectơ làmột đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là , đọc là vectơ .

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ  và được kí hiệu là ||. Như vậy ta có || = AB.

* Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là  

* Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng , hai đường chéo cắt nhau tại O (Hình 5). Tìm độ dài của các vectơ  

* Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên góc ADC là góc vuông.

Xét ΔADC vuông tại D, theo định lí Pythagore ta có: AC² = AD² + DC²

Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nên AC = BD và O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: BD = AC = 1 và OA = AO = AC/2 = 1/2

Suy ra:

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

* Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ  và  cùng phương.

* Ví dụ: Tìm các cặp vectơ cùng phương trong hình 6:

* Lời giải:

Trong hình 6,   và  cùng phương vì có giá trùng nhau.  và  cùng phương vì có giá song song.

* Chú ý: Trong hình 6,

- Hai vectơ  và  cùng phương và cùng hướng đi từ trái sáng phải. Ta nói   và  là là hai vectơ cùng hướng.

- Hai vectơ  và  cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói   và  là là hai vectơ ngược hướng.

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu 

Hai vectơ  và  được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu . Khi đó vectơ  được gọi là vectơ đối của vectơ

* Chú ý:

+ Cho vectơ  và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . Khi đó độ dài của vectơ  là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là||

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có 

* Ví dụ:Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (Hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ 

b) Tìm các vectơ đối của vectơ

* Lời giải:

a) Tam giác ABC có F và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF // BC và EF = BC/2

Do D là trung điểm của BC nên BD = DC = BC/2

⇒ EF = BD = DC và EF // BD, EF // DC.

Hai vectơ  và  có giá song song với nhau, có cùng hướng đi từ phải qua trái nên hai vectơ này cùng hướng, hơn nữa 

Do đó 

Tương tự ta có:  (do chúng cùng hướng và cùng độ dài).

b) Ta có FD là đường trung bình của tam giác ABC nên FD // AC và FD = AC/2

Mà E là trung điểm của AC nên AE = EC = AC/2

Do đó: AE = EC = FD.

Hai vectơ  và  có giá song song và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa 

Do đó  và  là hai vectơ đối nhau hay 

Hai vectơ  và  có giá trùng nhau và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa 

Do đó  và  là hai vectơ đối nhau hay 

Ngoài ra, ta còn có 

4. Vectơ-không

• Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là .

* Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau:, với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.