Tích của một số với một Vectơ, điều kiện 2 vectơ cùng phương? Toán 10 chân trời tập 1 chương 5 bai 3

Tích của một số với một Vectơ, điều kiện 2 vectơ cùng phương như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

• Cho số k khác 0 và  khác . Tích củasố k với vectơ  là một vectơ, kí hiệu là k.

• Vectơ k cùng hướng với  nếu k > 0, ngược hướng với  nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.||.

• Ta quy ước 0 =  và k = .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

* Ví dụ: Cho hai vectơ ,  và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ 

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: 

* Lời giải:

a) Ta có:  nên vectơ  cùng hướng với vectơ  và có độ dài bằng 

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ  và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ thỏa mãn MN = 3||

Ta lại có:  nên vectơ  cùng hướng với vectơ  và có độ dài bằng

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ  và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ  thỏa mãn MP = 3.||

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là 

Ta có vectơ  có độ dài là || =2, vectơ  có độ dài là || = 

Ta có: |3| = 3.|| = 3. = 3

|–3| = |–3|.|| = 3. = 3

Lại có: 2 + 2 = 2( + )  (1)

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với 

Ta có:

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Nên:

Ta có: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA 

=  + 2² – 2 .   . 2 . cos135° = 10

Vậy

* Tính chất của phép nhân 1 số với một vectơ

Với hai vectơ  và  bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

• k( + ) = k + k;

• (h + k) = h + k;

• h(k) = (hk);

• 1. = ;

• (–1) = –.

* Ví dụ: Ta có:

a) 5( + ) = 5 + 5;

b) (n + m) = n + m;

c) 3.(–6) = [3.(–6)] = –18;

d) 2 – 7 = (2 – 7) = –5.

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Hai vectơ  và  ( khác ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho  = k

* Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 

* Chú ý: Cho hai vectơ  và  không cùng phương. Với mỗi  luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho  = m + n.

* Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn:   Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

* Lời giải:

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có:

Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: 

Mà 

Do đó: 

Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.