Bài 5.12 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ giúp các em học sinh hiểu sâu bản chất và tránh các bẫy tư duy thường gặp.

I. Đề bài tập 5.12 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A và B như sau:

Không thực hiện tính toán số liệu cụ thể, hãy cho biết:

• a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

• b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

II. Tiêu chí phân tích biểu đồ chấm điểm trực quan

Để xử lý chính xác các yêu cầu định tính của bài toán, các em học sinh cần bám sát ý nghĩa hình học của các số đặc trưng sau:

1. Khoảng biến thiên ($R$): Phụ thuộc hoàn toàn vào vị trí của hai điểm biên (chấm điểm đầu tiên bên trái và chấm điểm cuối cùng bên phải).

   $$R = x_{\max} - x_{\min}$$

2. Số trung bình ($\bar{x}$): Đóng vai trò là "trọng tâm" hay trục đối xứng cân bằng của toàn bộ hệ thống các chấm điểm trên biểu đồ.

3. Phương sai ($s^2$) và Độ lệch chuẩn ($s$): Đo độ phân tán của dữ liệu.

   • Mẫu nào có các chấm điểm nằm rải rác, lan rộng ra xa số trung bình $\rightarrow$ Độ phân tán lớn $\rightarrow$ Phương sai lớn.

   • Mẫu nào có các chấm điểm co cụm, tập trung dày đặc xung quanh số trung bình $\rightarrow$ Độ phân tán nhỏ $\rightarrow$ Phương sai nhỏ.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.12

Dựa vào phương pháp luận trên, ta tiến hành quan sát và lập luận so sánh hai mẫu đồ thị A và B như sau:

a) So sánh khoảng biến thiên và số trung bình của hai mẫu số liệu

• Về khoảng biến thiên ($R$):

  • Quan sát biểu đồ mẫu A: Giá trị nhỏ nhất có chứa dấu chấm là $3$, giá trị lớn nhất có chứa dấu chấm là $9$.

  • Quan sát biểu đồ mẫu B: Giá trị nhỏ nhất có chứa dấu chấm cũng là $3$, giá trị lớn nhất có chứa dấu chấm cũng là $9$.

  • Vì cả hai mẫu số liệu đều có cùng giá trị lớn nhất ($x_{\max} = 9$) và giá trị nhỏ nhất ($x_{\min} = 3$), nên khoảng biến thiên của chúng bằng nhau: $R_A = R_B = 9 - 3 = 6$.

• Về số trung bình ($\bar{x}$):

  • Cả hai biểu đồ chấm điểm mẫu A và mẫu B đều có cấu trúc hình thái đối xứng hoàn hảo qua vạch số $6$ (phần đồ thị bên trái số 6 và bên phải số 6 phản chiếu giống hệt nhau về số lượng các chấm điểm).

  • Do tính chất đối xứng tâm này, số trung bình (đóng vai trò trọng tâm hệ thống) của cả hai mẫu số liệu đều bằng nhau và trùng khít tại vạch số 6: $\bar{x}_A = \bar{x} _B = 6$.

Kết luận câu a: Hai mẫu số liệu A và B có cùng khoảng biến thiên và cùng số trung bình.

b) Xác định mẫu số liệu có phương sai lớn hơn

• Mạch lập luận phân tích hình thái đồ thị:

  • Ở mẫu số liệu A: Các dấu chấm biểu diễn tần số được trải đều một cách đồng loạt trên tất cả các vạch số từ $3$ đến $9$. Các điểm ở xa tâm như $3, 4, 8, 9$ đều xuất hiện đều đặn (tần số bằng 2). Điều này chứng tỏ các phần tử có xu hướng rải rác và nằm cách xa số trung bình $\bar{x} = 6$. Do đó, mẫu A có độ phân tán lớn.

  • Ở mẫu số liệu B: Các dấu chấm tập trung mật độ cực kỳ cao, co cụm lại ở ngay sát trục tâm là các vạch số $5, 6, 7$ (tần số lần lượt là 4, 5, 4). Trong khi đó, các điểm ở rìa biên xa tâm như $3$ và $9$ xuất hiện rất thưa thớt (chỉ có duy nhất 1 chấm). Điều này chứng tỏ phần lớn các phần tử có xu hướng tụ lại xung quanh số trung bình $\bar{x} = 6$. Do đó, mẫu B có độ phân tán nhỏ.

• Kết luận về phương sai: Vì phương sai tỷ lệ thuận với độ phân tán của dữ liệu, mẫu nào phân tán rộng hơn thì phương sai lớn hơn.

Kết luận câu b: Mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn mẫu số liệu B.

IV. Mẹo tránh bẫy nhìn chiều cao cột chấm điểm (Dành cho thi trắc nghiệm)

Khi làm câu b dưới hình thức trắc nghiệm phản xạ nhanh, rất nhiều học sinh mắc sai lầm là thấy cột chấm điểm của mẫu B cao hơn cột của mẫu A nên kết luận mẫu B có phương sai lớn hơn.

• Lý do sai lầm: Học sinh bị đánh lừa thị giác bởi chiều cao của các chồng chấm điểm mà quên mất ý nghĩa của phương sai. Phương sai không đo chiều cao của tần số, phương sai đo khoảng cách từ các điểm đến trục trung tâm.

• Mẹo nhẩm siêu tốc: Các em hãy tưởng tượng các chấm điểm giống như các quả cân nằm trên một thanh bập bênh cân bằng tại vị trí số 6.

  • Càng nhiều quả cân đặt ở rìa xa cánh tay đòn (như số 3, số 9 ở mẫu A) thì thanh bập bênh càng dễ bị lắc lư, độ quán tính phân tán càng dữ dội $\rightarrow$ Phương sai lớn.

  • Các quả cân xếp tập trung ở ngay sát trục quay trung tâm (như số 5, 6, 7 ở mẫu B) thì hệ thống càng ổn định, ít lắc lư $\rightarrow$ Phương sai nhỏ.

Áp dụng mẹo cánh tay đòn này, các em chỉ cần nhìn xem đồ thị nào "bè" rộng ra hai bên biên nhiều hơn thì khoanh ngay mẫu đó có phương sai lớn hơn. Mẹo này giúp các em chốt đáp án chính xác 100% chỉ trong 2 giây!

V. Kết luận

Bài tập 5.12 là một câu hỏi trực quan hình học xuất sắc để khép lại toàn bộ chương trình Thống kê Toán 10. Nó giúp học sinh thoát ly khỏi việc bấm máy tính giải phương trình phương sai phức tạp để hiểu được bản chất thực sự của khái niệm "độ phân tán" dữ liệu. Việc làm chủ kỹ năng đọc biểu đồ chấm điểm sẽ giúp các em học sinh có nền tảng phân tích số liệu cực kỳ vững chắc.