Bài 5.26 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước, lập luận mạch lạc giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.26 (SGK Toán 10 - Trang 90)

Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của 10 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:

(Theo Tổng cục Thống kê)

Câu hỏi:

• a)Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

• b)Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làmtròn này không vượt quá bao nhiêu? 

II. Phương pháp giải và kiến thức cần nhớ

1. Sắp xếp số liệu: Thao tác bắt buộc để tìm trung vị và khoảng biến thiên.

2. Độ lệch chuẩn ($s$): Được tính bằng căn bậc hai của phương sai ($s = \sqrt{s^2}$), phản ánh độ phân tán của điểm số quanh số trung bình.

3. Quy tắc làm tròn số và chặn trên sai số: Khi làm tròn một số thập phân đến một hàng nào đó, sai số tuyệt đối tối đa của số quy tròn luôn nhỏ hơn hoặc bằng một nửa đơn vị của hàng làm tròn.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.26

Câu a) Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và độ phân tán

Trước hết, ta tiến hành sắp xếp mẫu số liệu gồm $n = 10$ phần tử (số chẵn) theo thứ tự không giảm:

• Số trung bình cộng ($\overline{X}$):

  $$\overline{X} = \frac{5,5 + 7,4 + 10,2 + 11,0 + 11,4 + 12,2 + 12,5 + 13,1 + 13,4 + 13,8}{10} = \frac{110,5}{10} = 11,05\%$$

• Số trung vị ($M_e$):

  Vì $n = 10$ là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị nằm ở chính giữa dãy (vị trí thứ 5 và thứ 6):

  $$M_e = \frac{11,4 + 12,2}{2} = 11,8\%$$

• Khoảng biến thiên ($R$):

  $$R = x_{\max} - x_{\min} = 13,8 - 5,5 = 8,3\%$$

• Bảng tính toán bình phương độ lệch để tìm Độ lệch chuẩn:

• Tính Phương sai ($s^2$) và Độ lệch chuẩn ($s$):

  $$s^2 = \frac{65,6850}{10} = 6,5685 \Rightarrow s = \sqrt{6,5685} \approx 2,56\%$$

Câu b) Làm tròn số và xác định giới hạn sai số tuyệt đối

Ta tiến hành lập bảng thực hiện làm tròn từng giá trị trong mẫu đến hàng đơn vị và tính độ lệch sai số tuyệt đối tương ứng ($\Delta = |x_{\text{cũ}} - x_{\text{mới}}|$):

• Nhận xét kết quả: Nhìn vào cột sai số tuyệt đối vừa tính, ta thấy độ lệch lớn nhất xảy ra ở các trường hợp phần thập phân bằng $.5$ (như số $5,5$ và $12,5$) với mức sai số đạt đúng bằng $0,5$. Các trường hợp còn lại đều có sai số nhỏ hơn $0,5$.

Kết luận câu b: Sai số tuyệt đối của các phép làm tròn trên không vượt quá $0,5$.

IV. Mẹo nhẩm nhanh giới hạn sai số không cần lập bảng (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh tạo phản xạ bứt phá tốc độ khi làm bài thi trắc nghiệm đối với câu b, các em hoàn toàn không cần mất thời gian kẻ bảng làm tròn từng số. Hãy sử dụng định lý "Chặn trên sai số" số học sau:

Mẹo một nửa hàng làm tròn: Khi làm tròn một số đến một hàng đơn vị đo lường bất kỳ, sai số tuyệt đối lớn nhất thu được luôn mặc định bằng một nửa đơn vị của hàng làm tròn đó.

Áp dụng nhẩm nhanh:

• Đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị (tức là 1 đơn vị).

• Một nửa của 1 đơn vị chính là: $1 : 2 = 0,5$.

• Các em hoàn toàn có thể tự tin chốt ngay đáp án "Sai số tuyệt đối không vượt quá $0,5$" chỉ trong vòng đúng 1 giây mà không cần quan tâm mẫu số liệu có bao nhiêu chữ số hay độ dài dãy số ra sao!

V. Kết luận

Bài tập 5.26 là bài tập khép lại toàn bộ mạch kiến thức Chương V Toán 10 một cách rất trọn vẹn và hoàn hảo. Bài toán không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xử lý số liệu thống kê định lượng mà còn nhắc nhở tầm quan trọng của việc kiểm soát sai số khi thu gọn dữ liệu thực tế.