Bài 5.4 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, chính xác đã được hiệu đính toàn bộ hệ thống số liệu giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.4 (SGK Toán 10 - Trang 77)

Các nhà Vật lý sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

• Phương pháp 1: $67,31 \pm 0,96$

• Phương pháp 2: $67,9 \pm 0,55$

• Phương pháp 3: $67,74 \pm 0,46$

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Để xác định xem trong các phép đo cùng loại, phép đo nào cho kết quả đáng tin cậy và chính xác hơn, các nhà khoa học không so sánh sai số tuyệt đối $d$ mà bắt buộc phải so sánh sai số tương đối (ký hiệu là $\delta$).

Công thức tính sai số tương đối: Sai số tương đối của số gần đúng $a$ (với độ chính xác $d$) là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và trị tuyệt đối của số gần đúng đó:

$$\delta \le \frac{d}{|a|}$$

Để dễ so sánh, người ta thường biểu diễn sai số tương đối dưới dạng phần trăm (%): $\delta \le \frac{d}{|a|} \cdot 100\%$.

Tiêu chuẩn đánh giá: Phép đo nào có sai số tương đối càng nhỏ thì phép đo đó càng chất lượng và có độ chính xác càng cao.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.4

Chúng ta tiến hành áp dụng công thức để tính toán độc lập sai số tương đối của cả ba phương pháp đo hằng số Hubble:

1. Đối với phương pháp đo số 1

• Dữ kiện phép đo: $67,31 \pm 0,96$. Ta xác định được số gần đúng $a_1 = 67,31$ và độ chính xác $d_1 = 0,96$.

• Tỷ lệ sai số tương đối $\delta_1$ của phương pháp 1 là:

  $$\delta_1 \le \frac{d_1}{|a_1|} = \frac{0,96}{67,31} \approx 0,01426 \Rightarrow \delta_1 \le 1,43\%$$

2. Đối với phương pháp đo số 2

• Dữ kiện phép đo: $67,9 \pm 0,55$. Ta xác định được số gần đúng $a_2 = 67,9$ và độ chính xác $d_2 = 0,55$.

• Tỷ lệ sai số tương đối $\delta_2$ của phương pháp 2 là:

  $$\delta_2 \le \frac{d_2}{|a_2|} = \frac{0,55}{67,9} \approx 0,00810 \Rightarrow \delta_2 \le 0,81\%$$

3. Đối với phương pháp đo số 3

• Dữ kiện phép đo: $67,74 \pm 0,46$. Ta xác định được số gần đúng $a_3 = 67,74$ và độ chính xác $d_3 = 0,46$.

• Tỷ lệ sai số tương đối $\delta_3$ của phương pháp 3 là:

  $$\delta_3 \le \frac{d_3}{|a_3|} = \frac{0,46}{67,74} \approx 0,00679 \Rightarrow \delta_3 \le 0,68\%$$

Kết luận và so sánh kết quả

Ta tiến hành lập mạch so sánh các giá trị phần trăm sai số tương đối vừa tìm được ở ba phương pháp:

Do sai số tương đối của phương pháp 3 là nhỏ nhất ($\delta_3 \approx 0,68\%$) nên phương pháp này đem lại kết quả đo đạc hoàn hảo và chất lượng tốt nhất.

Vậy, phương pháp 3 cho kết quả chính xác nhất tính theo sai số tương đối.

IV. Mẹo tránh bẫy lập luận sai lầm (Dành cho thi trắc nghiệm)

Khi gặp câu hỏi này dưới dạng trắc nghiệm, rất nhiều học sinh mắc sai lầm là chỉ nhìn vào phần đuôi sai số tuyệt đối $d$ rồi kết luận ngay.

• Bản chất khoa học: Trong bài toán này, cả ba phương pháp đều đo chung một đại lượng là hằng số Hubble và các giá trị gần đúng $a$ của chúng xấp xỉ tương đương nhau ($67,31 \approx 67,9 \approx 67,74$).

• Mẹo nhẩm siêu tốc: Khi các giá trị số gần đúng $a$ gần bằng nhau, mẫu số của công thức $\frac{d}{|a|}$ coi như không đổi. Lúc này, sai số tương đối $\delta$ sẽ tỷ lệ thuận trực tiếp với độ chính xác $d$.

• Nhìn vào đề bài: $d_1 = 0,96$; $d_2 = 0,55$; $d_3 = 0,46$. Ta thấy ngay $d_3 = 0,46$ là giá trị nhỏ nhất. Do đó, các em hoàn toàn có thể tự tin khoanh ngay Phương pháp 3 là phương pháp chính xác nhất chỉ trong vòng 2 giây mà không cần mất thời gian bấm máy tính chia từng phân số ra nháp!

V. Kết luận

Bài tập 5.4 là một câu hỏi mang tính ứng dụng liên môn rất cao, giúp học sinh hiểu được cách các nhà vật lý và thiên văn học đánh giá chất lượng của các công trình nghiên cứu vũ trụ thông qua công cụ sai số toán học. Việc nắm chắc mẹo tỷ lệ thuận khi các số gần đúng tương đương nhau sẽ giúp các em học sinh quét nhanh đáp án trắc nghiệm một cách chính xác tuyệt đối.