Các dạng toán phương trình đường thẳng lớp 10 (ĐẦY ĐỦ NHẤT) + Bài tập có lời giải chi tiết

Bài viết này sẽ hệ thống hóa các kiến thức trọng tâm về phương trình đường thẳng lớp 10 giúp các em

• Nắm chắc các dạng toán thường gặp
• Biết cách nhận dạng nhanh từng dạng
• Làm bài nhanh hơn khi kiểm tra và thi

Cách nhận dạng nhanh dạng toán (rất quan trọng)

Khi gặp bài về đường thẳng, hãy tự hỏi:

• Cho điểm + vector pháp tuyến → dạng tổng quát
• Cho 2 điểm → tìm phương trình qua 2 điểm
• Cho hệ số góc (k) → dạng y = ax + b
• Cho song song / vuông góc → dùng quan hệ hệ số

I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá của  vuông góc với (d).

* Nhận xét:Nếu  là vectơ pháp tuyến của (d) thì  cũng là VTPT của (d).

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a² + b² ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận  là vectơ pháp tuyến.

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 (a² + b² ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng).

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ \vec{u} \neq \vec{0} gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá của  song song hoặc trùng với (d).

* Nhận xét:Nếu  là vectơ chỉ phương của (d) thì  cũng là VTCP của (d). VTCP và VTPT vuông góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP  thì  là VTPT của (d).

b) Phương trình tham số của đường thẳng: 

* có dạng:  ; (a² + b² ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).

 - Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

 - 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng:   ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  làm vectơ chỉ phương.

d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x_A;y_A) và B(x_B;y_B) có dạng:

 + Nếu:  thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:

 + Nếu: x_A = x_B: ⇒ AB: x = x_A

 + Nếu: y_A = y_B: ⇒ AB: y = y_A

e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Cho điểm M(x₀;y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Cho 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0;

 + d₁ cắt d₂ ⇔ 

 + d₁ // d₂ ⇔  và  hoặc  và

 + d₁ ⊥ d₂ ⇔

* Lưu ý:nếu a₂.b₂.c₂ ≠ 0 thì:

 - Hai đường thẳng cắt nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng // nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu: 

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ:Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VTPT  = (2;-3).

* Lời giải:Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT  = (2;-3)

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là:

2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0

Tổng kết Dạng 1: Phương pháp này là cơ bản nhất. Hãy nhớ công thức và cẩn thận khi thay tọa độ điểm và VTPT để tránh sai sót.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP  = (2;-1)

* Lời giải: Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là  = (2;-1)

 ⇒ phương trình tham số của đường thẳng là: 

Tổng kết Dạng 2: Phương trình tham số rất hữu ích khi cần tìm tọa độ một điểm bất kỳ trên đường thẳng. Hãy chú ý đến cách biểu diễn của x₀​,y₀​,a,b trong công thức.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

 Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:

 a) đi qua M(3;2) và //Δ: 

 b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có VTCP  = (2;-1) vì (d) // Δ nên (d) nhận  = (2;-1) là VTCP, (d) qua M(3;2)

⇒ PT đường thẳng (d) là: 

b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là  = (2;-1). Đường thẳng (d) //Δ nên  = (2;-1) cũng là VTPT của (d).

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT  = (2;-1) là:

 2(x-3) - (y-2) = 0 

⇔ 2x - y -4 = 0

Tổng kết Dạng 3: Mối quan hệ song song giúp ta dễ dàng tìm được vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến của đường thẳng cần tìm.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

 Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):

a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0

b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ: 

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là =(2;-5)

vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒  = (2;-5)

⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP  = (2;-5) là: 

b) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP  làm VTPT ⇒  = (2;-1)

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT  = (2;-1) có PTTQ là:

 2(x-4) - (y+3) = 0 

⇔ 2x - y - 11 = 0.

Tổng kết Dạng 4: Hãy nhớ mối quan hệ vuông góc giữa VTPT và VTCP để tìm đúng vectơ cần thiết.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ  làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).

 Ví dụ:Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).

* Lời giải:

- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là:  = (3-1;4-2) = (2;2)

⇒ Phương trình tham số của (d) là: 

Tổng kết Dạng 5: Đây là một dạng toán quen thuộc. Véctơ chỉ phương có thể được xác định bằng cách lấy tọa độ của điểm cuối trừ tọa độ của điểm đầu.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

- (d) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

 Ví dụ:Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải: 

- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5.

• Xem thêm:Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ  làm VTPT (trở về dạng toán 1).

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)

* Lời giải:

- (d) vuông góc với AB nên nhận  = (2;4) làm vectơ pháp tuyến

- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:

 x_i = (x_A+x_B)/2 = (3+5)/2 = 4;

 y_i = (y_A+y_B)/2 = (-1+3)/2 = 1;

⇒ toạ độ của I(4;1)

⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là:

 2(x-4) + 4(y-1) = 0 

⇔ 2x + 4y -12 = 0

⇔ x + 2y - 6 = 0.

Tổng kết Dạng 6: Dạng toán này đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức. Hãy nhớ rằng đường trung trực luôn vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

• Xem thêm:Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

- (d) đi qua M(x_0;y₀) và tạo với Ox 1 góc ∝ (0⁰ < ∝ < 90⁰) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀ (với k = ±tan∝

 Ví dụ:Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 45⁰.

* Lời giải: 

- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức:

k = tan∝ = tan(45⁰) = 1.

⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.(x+1) + 2 

⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).

- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').

Ví dụ:  Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là:  = (1;2)

- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒  =(1;2)

- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là: 

- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

 Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

• Xem thêm:Cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

 * Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).

- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M').

Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)

- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(x_M';y_M'), ta có:

 ; 

⇒ x_M' = 2x_H - x_M = 2.4 - 3 = 5

⇒ y_M' = 2y_H - y_M = 2.1 - (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)

• Xem thêm:Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0; ta giải hệ phương trình:

  (*)

_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d₁ // d₂

_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d₁ ≡ d₂

_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d₁ cắt d₂ và nghiệm là toạ độ giao điểm.

 Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng

a) d₁: x + y - 2 = 0; d₂: 2x + y - 3 = 0

b) d₁: x + 2y - 5 = 0; d₂: 

* Lời giải:

a) Số giao điểm của d₁ và d₂ là số nghiệm của hệ phương trình

- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.

b) Từ PTĐT d₂ ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d₁ ta được:

 (1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vô số nghiệm).

Tổng kết Vị trí tương đối: Phương pháp giải hệ phương trình là cách hiệu quả nhất để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng.

Các lỗi học sinh thường gặp

• Nhầm vector pháp tuyến và chỉ phương
• Sai dấu khi lập phương trình
• Không rút gọn phương trình

Mẹo làm nhanh khi đi thi

• Nhìn đề → xác định dạng trong 3–5 giây
• Ưu tiên viết phương trình tổng quát
• Tránh biến đổi dài dòng