Hotline 0936685849

Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, bài tập vận dụng - Toán lớp 10

10:11:2527/02/2019

Chào các em! Trong chương trình Toán lớp 10, chuyên đề về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung cực kỳ quan trọng và có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhiều bạn học sinh thường gặp khó khăn trong việc phân loại và áp dụng đúng công thức.

Bài viết này sẽ hệ thống hóa các kiến thức trọng tâm, các dạng toán phổ biến, kèm theo ví dụ minh họa và lời giải chi tiết để giúp các em dễ dàng nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết mọi bài tập về phương trình đường thẳng.

• Xem thêm: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường tròn cực hay

I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ small vec{n}
eq vec{0} gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá của vuông góc với (d).

* Nhận xét: Nếu small vec{n} là vectơ pháp tuyến của (d) thì small small kvec{n} cũng là VTPT của (d).

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a² + b² ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận small small vec{n}(a;b) là vectơ pháp tuyến.

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 (a² + b² ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng).

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ small small vec{u}
eq vec{0} gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá của song song hoặc trùng với (d).

* Nhận xét: Nếu small small vec{u} là vectơ chỉ phương của (d) thì small small small kvec{u} cũng là VTCP của (d). VTCP và VTPT vuông góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP small vec{u}(a;b) thì small vec{n}(-b;a) là VTPT của (d).

b) Phương trình tham số của đường thẳng:

* có dạng: $small small left{egin{matrix} x=x_{o}+at y=y_{o}+bt end{matrix} ight.$ ; (a² + b² ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận small vec{u}(a;b) làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).

- Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng: $small frac{x-x_{o}}{a}=frac{y-y_{o}}{b}$ ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận small vec{u}(a;b) làm vectơ chỉ phương.

d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x_A;y_A) và B(x_B;y_B) có dạng:

+ Nếu: $small left{egin{matrix} x_{A} eq x_{B} y_{A} eq y_{B} end{matrix} ight.$ thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là: $small frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}$

+ Nếu: x_A = x_B: ⇒ AB: x = x_A

+ Nếu: y_A = y_B: ⇒ AB: y = y_A

e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Cho điểm M(x₀;y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

$small d(M,Delta )=frac{left | ax_{o}+by_{o}+c ight |}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Cho 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0;

+ d₁ cắt d₂ ⇔ $small egin{vmatrix} a_{1} &b_{1} a_{2} &b_{2} end{vmatrix} eq 0$

+ d₁ // d₂ ⇔ $small small egin{vmatrix} a_{1} &b_{1} a_{2} &b_{2} end{vmatrix}= 0$ và $small egin{vmatrix} b_{1} &c_{1} b_{2} &c_{2} end{vmatrix} eq 0$ hoặc $small small egin{vmatrix} a_{1} &b_{1} a_{2} &b_{2} end{vmatrix}= 0$ và $small small egin{vmatrix} c_{1} &a_{1} c_{2} &a_{2} end{vmatrix} eq 0$

+ d₁ ⊥ d₂ ⇔ $small small small small egin{vmatrix} a_{1} &b_{1} a_{2} &b_{2} end{vmatrix}=egin{vmatrix} b_{1} &c_{1} b_{2} &c_{2} end{vmatrix}=egin{vmatrix} c_{1} &a_{1} c_{2} &a_{2} end{vmatrix}= 0$

* Lưu ý: nếu a₂.b₂.c₂ ≠ 0 thì:

- Hai đường thẳng cắt nhau nếu: $small frac{a_{1}}{b_{1}} eq frac{a_{2}}{b_{2}}$

- Hai đường thẳng // nhau nếu: $small frac{a_{1}}{b_{1}}= frac{a_{2}}{b_{2}} eq frac{c_{1}}{c_{2}}$

- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu: $small small frac{a_{1}}{b_{1}}= frac{a_{2}}{b_{2}}=frac{c_{1}}{c_{2}}$

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

$small left{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)perp vec{n}(a;b) end{matrix} ight.Leftrightarrow (d):a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$

Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VTPT small vec{n} = (2;-3).

* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT small vec{n} = (2;-3)

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là:

2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0

Tổng kết Dạng 1: Phương pháp này là cơ bản nhất. Hãy nhớ công thức và cẩn thận khi thay tọa độ điểm và VTPT để tránh sai sót.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

$small left{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)// vec{u}(a;b) end{matrix} Leftrightarrowleft{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)perp vec{n}(-b;a) end{matrix}$

$small ight.Leftrightarrow (d):-b(x-x_{o})+a(y-y_{o})=0$

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP small small vec{u} = (2;-1)

* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là small small vec{u} = (2;-1)

⇒ phương trình tham số của đường thẳng là: small left{egin{matrix} x=1+2t y=-2-t end{matrix}
ight.

Tổng kết Dạng 2: Phương trình tham số rất hữu ích khi cần tìm tọa độ một điểm bất kỳ trên đường thẳng. Hãy chú ý đến cách biểu diễn của $x_{0}, y_{0}, a, b$ trong công thức.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

$small small left{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)// {d}':ax+by+c=0 end{matrix} Leftrightarrowleft{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)perp vec{n}(a;b) end{matrix}$

$small ight.Leftrightarrow (d):a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:

a) đi qua M(3;2) và //Δ: small left{egin{matrix} x=1+2t y=-t end{matrix}
ight.

b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có VTCP small small vec{u} = (2;-1) vì (d) // Δ nên (d) nhận = (2;-1) là VTCP, (d) qua M(3;2)

⇒ PT đường thẳng (d) là: small left{egin{matrix} x=3+2t y=2-t end{matrix}
ight.

b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là small vec{n} = (2;-1). Đường thẳng (d) //Δ nên = (2;-1) cũng là VTPT của (d).

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT small vec{n} = (2;-1) là:

2(x-3) - (y-2) = 0

⇔ 2x - y -4 = 0

Tổng kết Dạng 3: Mối quan hệ song song giúp ta dễ dàng tìm được vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến của đường thẳng cần tìm.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

$small small left{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)perp {d}':ax+by+c=0 end{matrix} Leftrightarrowleft{egin{matrix} M(x_{o};y_{o})in (d) (d)perp vec{n}(-b;a) end{matrix}$

$small ight.Leftrightarrow (d):-b(x-x_{o})+a(y-y_{o})=0$

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):

a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0

b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ: small left{egin{matrix} x=1+2t y=-t end{matrix}
ight.

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là $small small vec{n}_{Delta}$ =(2;-5)

vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒ $small small small vec{u}_{d}$ = (2;-5)

⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP $small small small vec{u}_{d}$ = (2;-5) là: small left{egin{matrix} x=-2+2t y=3-5t end{matrix}
ight.

b) Đường thẳng Δ có VTCP $small small small small vec{u}_{Delta }$ = (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP $small small small small vec{u}_{Delta }$ làm VTPT ⇒ $small small small vec{n}_{d}$ = (2;-1)

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT $small small small vec{n}_{d}$ = (2;-1) có PTTQ là:

2(x-4) - (y+3) = 0

⇔ 2x - y - 11 = 0.

Tổng kết Dạng 4: Hãy nhớ mối quan hệ vuông góc giữa VTPT và VTCP để tìm đúng vectơ cần thiết.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ small underset{AB}{
ightarrow} làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).

Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).

* Lời giải:

- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là: small underset{AB}{
ightarrow} = (3-1;4-2) = (2;2)

⇒ Phương trình tham số của (d) là: small left{egin{matrix} x=1+2t y=2+2t end{matrix}
ight.

Tổng kết Dạng 5: Đây là một dạng toán quen thuộc. Véctơ chỉ phương có thể được xác định bằng cách lấy tọa độ của điểm cuối trừ tọa độ của điểm đầu.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

- (d) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải:

- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x₀) + y₀

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ small underset{AB}{
ightarrow} làm VTPT (trở về dạng toán 1).

Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)

* Lời giải:

- (d) vuông góc với AB nên nhận small underset{AB}{
ightarrow} = (2;4) làm vectơ pháp tuyến

- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:

x_i = (x_A+x_B)/2 = (3+5)/2 = 4;

y_i = (y_A+y_B)/2 = (-1+3)/2 = 1;

⇒ toạ độ của I(4;1)

⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là:

2(x-4) + 4(y-1) = 0

⇔ 2x + 4y -12 = 0

⇔ x + 2y - 6 = 0.

Tổng kết Dạng 6: Dạng toán này đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức. Hãy nhớ rằng đường trung trực luôn vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

• Xem thêm: Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

- (d) đi qua M(x_0;y₀) và tạo với Ox 1 góc ∝ (0⁰ < ∝ < 90⁰) có dạng: y = k(x-x₀) + y₀ (với k = ±tan∝

Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 45⁰.

* Lời giải:

- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức:

k = tan∝ = tan(45⁰) = 1.

⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.(x+1) + 2

⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).

- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').

Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là: $small vec{n}_{d}$ = (1;2)

- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒ $small vec{u}_{d'}$ =(1;2)

- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là: small left{egin{matrix} x=3+t y=-1+2t end{matrix}
ight.

- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

• Xem thêm: Cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

* Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).

- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M').

Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)

- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(x_M';y_M_'), ta có:

$small x_{H}=frac{x_{M}+x_{M'}}{2}$ ; $small y_{H}=frac{y_{M}+y_{M'}}{2}$

⇒ x_M' = 2x_H - x_M = 2.4 - 3 = 5

⇒ y_M' = 2y_H - y_M = 2.1 - (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)

• Xem thêm: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0; và (d₂): a₂x + b₂y + c =0; ta giải hệ phương trình:

$small left{egin{matrix} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 end{matrix} ight.$ (*)

_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d₁ // d₂

_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d₁ ≡ d₂

_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d₁ cắt d₂và nghiệm là toạ độ giao điểm.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng

a) d₁: x + y - 2 = 0; d₂: 2x + y - 3 = 0

b) d₁: x + 2y - 5 = 0; d₂: small left{egin{matrix} x=1-4t y=2+2t end{matrix}
ight.

* Lời giải:

a) Số giao điểm của d₁ và d₂ là số nghiệm của hệ phương trình

small left{egin{matrix} x+y-2=0 2x+y-3=0 end{matrix}
ight.

- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.

b) Từ PTĐT d₂ ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d₁ ta được:

(1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vô số nghiệm).

Tổng kết Vị trí tương đối: Phương pháp giải hệ phương trình là cách hiệu quả nhất để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng.

Bài viết này đã hệ thống hóa các kiến thức trọng tâm và các dạng bài tập phổ biến về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Nắm vững các khái niệm về vectơ pháp tuyến, chỉ phương, các loại phương trình và mối quan hệ giữa các đường thẳng sẽ là nền tảng vững chắc để các em học tốt hình học giải tích trong mặt phẳng. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ kiến thức này nhé!