Bài 5.10 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước, lập luận mạch lạc giúp các em học sinh dễ dàng đạt điểm số tối đa.

I. Đề bài tập 5.10 (SGK Toán 10 - Trang 83)

Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng):

Câu hỏi: Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

II. Phương pháp giải và kiến thức toán học cốt lõi

Để trả lời được câu hỏi sự thay đổi của các số đặc trưng, các em học sinh cần thực hiện so sánh các đại lượng này trước và sau khi biến đổi mẫu dữ liệu theo 2 giai đoạn:

1. Trường hợp 1: Tính số trung bình ($\bar{x}$), trung vị ($M_e$), mốt ($M_o$) của mẫu số liệu ban đầu gồm đầy đủ $n = 5$ sân vận động.

2. Trường hợp 2: Loại bỏ số liệu của sân Mỹ Đình ($37\:546$). Lúc này mẫu số liệu mới chỉ còn $n = 4$ phần tử. Ta tiến hành tính lại bộ ba số đặc trưng $\bar{x}$, $M_e$, $M_o$ rồi đưa ra nhận xét so sánh.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.10

Giai đoạn 1: Tính các số đặc trưng của mẫu số liệu ban đầu ($n = 5$)

Mẫu số liệu ban đầu về sức chứa của 5 sân vận động là: $20\:120;\quad 21\:315;\quad 23\:405;\quad 20\:120;\quad 37\:546$.

• Số trung bình ban đầu ($\bar{x}_1$):

  $$\bar{x}_1 = \frac{20\:120 + 21\:315 + 23\:405 + 20\:120 + 37\:546}{5} = \frac{122\:506}{5} = 24\:501,2$$

• Tìm Trung vị ban đầu ($M_{e1}$):

  Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (từ nhỏ đến lớn):

  $$20\:120;\quad 20\:120;\quad 21\:315;\quad 23\:405;\quad 37\:546$$

  Vì số phần tử $n = 5$ là số lẻ, nên số trung vị là giá trị nằm ở chính giữa dãy (vị trí thứ 3):

  $$\Rightarrow M_{e1} = 21\:315$$

• Tìm Mốt ban đầu ($M_{o1}$):

  Trong dãy trên, giá trị $20\:120$ xuất hiện 2 lần (nhiều nhất trong mẫu dữ liệu).

  $$\Rightarrow M_{o1} = 20\:120$$

Giai đoạn 2: Tính các số đặc trưng sau khi bỏ Sân vận động Mỹ Đình ($n = 4$)

Khi bỏ đi số liệu của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình ($37\:546$ chỗ ngồi), mẫu số liệu thu gọn mới chỉ còn lại 4 sân với các giá trị: $20\:120;\quad 21\:315;\quad 23\:405;\quad 20\:120$.

• Số trung bình mới ($\bar{x}_2$):

  $$\bar{x}_2 = \frac{20\:120 + 21\:315 + 23\:405 + 20\:120}{4} = \frac{84\:960}{4} = 21\:240$$

• Tìm Trung vị mới ($M_{e2}$):

  Sắp xếp mẫu số liệu thu gọn theo thứ tự không giảm:

  $$20\:120;\quad 20\:120;\quad 21\:315;\quad 23\:405$$

  Vì số phần tử $n = 4$ là số chẵn, nên số trung vị mới sẽ là trung bình cộng của hai giá trị nằm ở chính giữa dãy (vị trí thứ 2 và thứ 3):

  $$M_{e2} = \frac{20\:120 + 21\:315}{2} = 20\:717,5$$

• Tìm Mốt mới ($M_{o2}$):

  Trong dãy số liệu thu gọn, giá trị $20\:120$ vẫn xuất hiện nhiều nhất (2 lần).

  $$\Rightarrow M_{o2} = 20\:120$$

Kết luận phân tích sự ảnh hưởng

Ta tiến hành lập mạch so sánh sự biến động của bộ ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm:

• Số trung bình: Giảm từ $24\:501,2$ xuống còn $21\:240$ (giảm $3\:261,2$ đơn vị).

• Số trung vị: Giảm nhẹ từ $21\:315$ xuống còn $20\:717,5$ (giảm $597,5$ đơn vị).

• Mốt: Giữ nguyên giá trị không đổi là $20\:120$.

Mạch chốt tổng kết bài toán: Khi bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số trung bình và số trung vị đều bị giảm đi (trong đó số trung bình bị giảm mạnh nhất), còn mốt của mẫu số liệu hoàn toàn không bị ảnh hưởng.

IV. Bản chất lý thuyết thống kê sâu xa (Mẹo thi trắc nghiệm lý thuyết)

Dạng toán biện luận sự ảnh hưởng này thường xuyên xuất hiện dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm định tính lý thuyết. Các em học sinh của Hay Học Hỏi có thể chọn ngay đáp án đúng mà không cần tính toán nhờ việc khắc cốt ghi tâm quy luật nhạy cảm của số liệu sau:

• Số trung bình ($\bar{x}$) là đại lượng nhạy cảm nhất với các giá trị dị biệt. Sân Mỹ Đình ($37\:546$) có sức chứa lớn vượt trội so với phần còn lại. Khi loại bỏ một số lớn đột biến như vậy, số trung bình chắc chắn sẽ bị kéo sụt giảm mạnh nhất.

• Trung vị ($M_e$) là đại lượng bền vững hơn, nó chỉ phản ánh vị trí đứng ở giữa dòng chứ không phụ thuộc vào độ lớn của phần tử biên. Do đó, khi bỏ số biên, trung vị chỉ bị dịch chuyển nhẹ theo cấu trúc phân vị.

• Mốt ($M_o$) chỉ quan tâm đến tần suất lặp lại. Việc bỏ một phần tử ở rìa không làm lung lay nhóm có tần số xuất hiện nhiều nhất ở phía trong, nên mốt thường giữ nguyên.

Ghi nhớ mẹo lý thuyết này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm biện luận cực kỳ nhanh chóng và tự tin!

V. Kết luận

Bài tập 5.10 là một câu hỏi ứng dụng thực tế vô cùng đắt giá để khép lại chương số gần đúng và sai số. Nó giúp học sinh không chỉ dừng lại ở việc tính toán cơ học mà hiểu được ý nghĩa thực tiễn của việc lọc dữ liệu sạch trong thống kê khoa học. Việc nắm vững tính chất nhạy cảm của số trung bình và tính bền vững của trung vị sẽ giúp các em học sinh có tư duy phân tích số liệu rất tốt.