Bài 4.37 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ hai điều kiện giúp các em học sinh nắm trọn điểm số tuyệt đối.

I. Đề bài tập 4.37 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ (hay còn được viết dưới dạng phân số là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.

II. Các định lý nền tảng

Để giải quyết trọn vẹn yêu cầu chứng minh này, các em học sinh cần bám sát hai định nghĩa lý thuyết cốt lõi sau:

1. Tính chất về hướng của tích vectơ với một số: Cho vectơ $\vec{a}$ và một số thực $k$. Vectơ tích $k \cdot \vec{a}$ sẽ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ khi và chỉ khi hệ số $k$ mang dấu dương ($k > 0$).

2. Tính chất về độ dài: Độ lớn của vectơ tích $k \cdot \vec{a}$ được tính theo công thức trị tuyệt đối nhân độ dài gốc:

   $$|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$$

3. Định nghĩa vectơ đơn vị: Một vectơ được công nhận là vectơ đơn vị khi và chỉ khi độ dài (môđun) của nó bằng đúng 1.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.37

Để chứng minh vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ là một vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{a}$, chúng ta cần phải lập luận và chứng minh đầy đủ 2 luận điểm độc lập sau:

Luận điểm 1: Chứng minh vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$

• Xét hệ số nhân đóng vai trò là hằng số $k$ đứng trước vectơ $\vec{a}$:

  $$k = \frac{1}{|\vec{a}|}$$

• Theo giả thiết đề bài cho, vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ nên độ dài của nó luôn luôn là một số thực dương ($|\vec{a}| > 0$).

• Từ đó ta suy ra phân số nghịch đảo của nó cũng bắt buộc phải mang dấu dương:

  $$k = \frac{1}{|\vec{a}|} > 0$$

• Vì hệ số nhân $k > 0$ nên theo tính chất hình học của phép nhân vectơ với một số, vectơ tích $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ $\quad (1)$.

Luận điểm 2: Chứng minh vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ có độ dài bằng 1 (vectơ đơn vị)

• Ta tiến hành lấy công thức tính độ lớn (độ dài) cho vectơ tổng hợp này:

  $$\left| \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} \right| = \left| \frac{1}{|\vec{a}|} \right| \cdot |\vec{a}|$$

• Vì bản thân đại lượng $\frac{1}{|\vec{a}|}$ đã là một số dương (như đã lập luận ở luận điểm 1), nên khi phá dấu giá trị tuyệt đối đại số, nó giữ nguyên giá trị:

  $$\Rightarrow \left| \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} \right| = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}|$$

• Tiến hành triệt tiêu đại lượng độ dài $|\vec{a}|$ ở cả tử số và mẫu số, ta thu được kết quả:

  $$\left| \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} \right| = 1$$

• Vì có độ dài bằng đúng $1$ nên theo định nghĩa đường tròn đơn vị, vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ chính là một vectơ đơn vị $\quad (2)$.

Kết luận cuối cùng: Từ điều kiện $(1)$ và $(2)$, ta đã chứng minh được rằng với mọi vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$, vectơ $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ luôn là một vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ (Đpcm).

IV. Ý nghĩa mở rộng: Ứng dụng "Chuẩn hóa vectơ" trong thực tế

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thêm chiều sâu tư duy lý thú, phép biến đổi ở bài 4.37 có một tên gọi rất chuyên nghiệp trong toán học cao cấp và tin học đồ họa 3D là "Chuẩn hóa vectơ" (Vector Normalization).

Ý nghĩa thực tiễn của công thức chuẩn hóa này là gì?

• Trong các bài toán vật lý động lực học hoặc lập trình đồ họa game, đôi khi người ta chỉ muốn trích xuất thông tin về phương hướng di chuyển của một vật thể (máy bay, mũi tên, tàu thủy) mà không muốn bị ảnh hưởng bởi độ lớn (vận tốc, lực đẩy).

• Khi đó, việc lấy vectơ vận tốc ban đầu chia cho độ dài của chính nó sẽ giúp ta thu được một vectơ đơn vị mới mang tính chất "định hướng thuần túy". Vectơ đơn vị này chỉ giữ lại hướng đi gốc và có độ dài chuẩn mực bằng 1, giúp các phép toán tịnh tiến góc sau đó trở nên vô cùng đơn giản và mượt mà!

V. Kết luận

Bài tập 4.37 tuy ngắn gọn nhưng là một câu hỏi lý thuyết vô cùng tinh tế, giúp học sinh khắc sâu mối quan hệ giữa hệ số nhân dương và độ dài của một vectơ đơn vị. Việc nắm vững kỹ năng chuẩn hóa này sẽ giúp các em không bị bỡ ngỡ khi bước lên các chuyên đề hình học không gian nâng cao.