Bài 5.15 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước giúp các em học sinh đạt điểm số tối đa.

I. Đề bài tập 5.15 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị: kg):

Câu hỏi: Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

II. Các bước và công thức toán học áp dụng

Để tìm được các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu dữ liệu, các em học sinh của cần thực hiện theo sơ đồ các bước sau:

1. Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (từ nhỏ đến lớn).

2. Bước 2: Xác định giá trị cực đại ($x_{\max}$), cực tiểu ($x_{\min}$) để tính khoảng biến thiên: $R = x_{\max} - x_{\min}$.

3. Bước 3: Tìm bộ ba tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ để tính khoảng tứ phân vị: $\Delta Q = Q_3 - Q_1$.

4. Bước 4: Tính số trung bình cộng ($\overline{X}$). Từ đó áp dụng công thức tính phương sai ($s^2$) rồi khai căn bậc hai để tìm độ lệch chuẩn ($s = \sqrt{s^2}$).

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.15

1. Sắp xếp mẫu số liệu và tính Khoảng biến thiên ($R$)

Trước hết, ta tiến hành sắp xếp 10 số liệu cân nặng của trẻ sơ sinh theo thứ tự không giảm:

• Từ dãy số liệu đã sắp xếp, ta dễ dàng nhận diện:

  • Giá trị lớn nhất: $x_{\max} = 4,236\text{ kg}$

  • Giá trị nhỏ nhất: $x_{\min} = 2,593\text{ kg}$

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là:

  $$R = x_{\max} - x_{\min} = 4,236 - 2,593 = 1,643\text{ kg}$$

2. Xác định các khoảng Tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q$)

Dung lượng mẫu số liệu ban đầu là $n = 10$ (số chẵn).

• Tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị):

  Trung vị $Q_2$ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa dãy (vị trí thứ 5 và thứ 6):

  $$Q_2 = \frac{3,387 + 3,412}{2} = 3,3995$$

• Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

  Nửa số liệu bên trái $Q_2$ gồm 5 giá trị thấp hơn: $2,593;\quad 2,977;\quad 3,155;\quad 3,270;\quad 3,387$. Vì số phần tử là lẻ ($5$), trung vị $Q_1$ chính là giá trị đứng ở chính giữa (vị trí thứ 3):

  $$\Rightarrow Q_1 = 3,155$$

• Tìm tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

  Nửa số liệu bên phải $Q_2$ gồm 5 giá trị cao hơn: $3,412;\quad 3,813;\quad 3,920;\quad 4,042;\quad 4,236$. Trung vị $Q_3$ chính là giá trị đứng ở chính giữa nửa sau (vị trí thứ 3 của nửa sau):

  $$\Rightarrow Q_3 = 3,920$$

• Tính Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q$):

  $$\Delta Q = Q_3 - Q_1 = 3,920 - 3,155 = 0,765$$

3. Tính Số trung bình và Độ lệch chuẩn ($s$)

• Số trung bình cộng ($\overline{X}$):

  $$\overline{X} = \frac{2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236}{10}$$
  $$\overline{X} = \frac{34,805}{10} = 3,4805\text{ kg}$$

• Tính Phương sai ($s^2$):

  Áp dụng công thức tính phương sai bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch:

  $$s^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \overline{X})^2$$
  $$s^2 = \frac{(2,593 - 3,4805)^2 + (2,977 - 3,4805)^2 + \dots + (4,236 - 3,4805)^2}{10} \approx 0,2405$$

• Tính Độ lệch chuẩn ($s$):

  Khai căn bậc hai số học của phương sai, ta thu được độ lệch chuẩn (làm tròn đến hai chữ số thập phân):

  $$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,2405} \approx 0,49\text{ kg}$$

Mạch chốt đáp số bài toán: * Khoảng biến thiên $R = 1,643\text{ kg}$.

• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = 0,765$.

• Độ lệch chuẩn $s \approx 0,49\text{ kg}$.

IV. Hướng dẫn bấm máy tính Casio giải nhanh bài 5.15 (Mẹo phòng thi)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn kiểm tra nhanh đáp số độ lệch chuẩn và số trung bình trong phòng thi mà không sợ tính toán nhầm, các em hãy áp dụng quy trình bấm máy tính Casio Fx-580VN X theo các bước sau nhé:

• Bước 1 (Mở tính năng thống kê): Bấm MENU $\rightarrow$ chọn 6 (Statistics) $\rightarrow$ chọn 1 (1-Variable).

• Bước 2 (Nhập dữ liệu): Nhập lần lượt 10 giá trị cân nặng vào cột $X$. Sau mỗi giá trị bấm dấu = để xác nhận.

• Bước 3 (Xuất kết quả): Sau khi nhập xong, bấm phím OPTN $\rightarrow$ chọn số 2 (1-Variable Calc).

Màn hình máy tính sẽ hiển thị một loạt kết quả tức thì:

• Dòng $\overline{X}$ hiển thị số trung bình: $3.4805$.

• Dòng $s^2x$ hiển thị phương sai mẫu: $0.2405$.

• Dòng $\sigma x$ chính là độ lệch chuẩn cần tìm: $0.4904$ (làm tròn thành $0,49$).

  Cách này giúp các em tiết kiệm thời gian gõ biểu thức dài và đảm bảo độ chính xác tuyệt đối khi làm bài!

V. Kết luận

Bài tập 5.15 là bài tập khép lại rất trọn vẹn chương thống kê lớp 10, tổng hợp đầy đủ các kỹ năng xử lý dữ liệu định lượng. Việc thành thạo các bước tính thủ công kết hợp mẹo bấm máy tính Casio sẽ giúp các em tự tin chinh phục mọi câu hỏi phân tán số liệu trong các kỳ thi sắp tới.