Bài 4.35 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ từng bước giúp các em học sinh đạt điểm số tuyệt đối.

I. Đề bài tập 4.35 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(2; 1)$, $B(-2; 5)$ và $C(-5; 2)$.

• a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

• b)Chứng minh rằng$A, B, C$là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó. 

• c)Tìm tọa độ trọng tâm$G$của tam giác$ABC$. 

• d)Tìm tọa độ của điểm$D$sao cho tứ giác$BCAD$là một hình bình hành 

II. Các công thức toán học cốt lõi cần nhớ

• Tọa độ vectơ: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

• Tích vô hướng đại số: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$. Nếu $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}$.

• Độ dài đoạn thẳng: $AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2}$

• Tọa độ trọng tâm: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

• Điều kiện hình bình hành: Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC}$ (hoặc $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CA}$).

III. Lời giải chi tiết bài 4.35

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$

Ta lấy tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ của điểm gốc tương ứng:

• Vectơ $\overrightarrow{BA}$:

  $$\overrightarrow{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (2 - (-2); 1 - 5) = (4; -4)$$

• Vectơ $\overrightarrow{BC}$:

  $$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-5 - (-2); 2 - 5) = (-3; -3)$$

Kết luận câu a: Tọa độ hai vectơ cần tìm là $\overrightarrow{BA}(4; -4)$ và $\overrightarrow{BC}(-3; -3)$.

b) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông và tính chu vi, diện tích

Bước 1: Chứng minh tam giác vuông bằng tích vô hướng

Ta tính tích vô hướng của hai vectơ chung gốc $B$ là $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$:

Vì tích vô hướng $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}$ tại đỉnh $B$.

Bước 2: Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$

• Độ dài cạnh góc vuông $AB$:

  $$AB = |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

• Độ dài cạnh góc vuông $BC$:

  $$BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

• Độ dài cạnh huyền $AC$ (áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $ABC$):

  $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{32 + 18} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Bước 3: Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC$

• Chu vi tam giác $ABC$ (ký hiệu là $P$):

  $$P = AB + BC + AC = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

• Diện tích tam giác vuông $ABC$ (ký hiệu là $S$):

  $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$

Kết luận câu b: Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có chu vi bằng $12\sqrt{2}$ và diện tích bằng $12$ (đơn vị diện tích).

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác là $G(x_G; y_G)$. Áp dụng công thức tính trung bình cộng tọa độ của 3 đỉnh $A, B, C$, ta có hệ thức:

• Hoành độ của điểm $G$:

  $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + (-2) + (-5)}{3} = -\frac{5}{3}$$

• Tung độ của điểm $G$:

  $$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{1 + 5 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$

Kết luận câu c: Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(-\frac{5}{3}; \frac{8}{3}\right)$.

d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành

Gọi tọa độ điểm cần tìm là $D(x_D; y_D)$.

• Do ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng (đã chứng minh tạo thành một tam giác ở câu b) nên tứ giác luôn đủ điều kiện dựng thành hình bình hành.

• Để tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành, theo quy tắc vòng tròn thứ tự viết liền các đỉnh, ta cần điều kiện cân bằng cặp vectơ cạnh đối song song và cùng hướng sau:

  $$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC}$$

  (Lưu ý các em rất dễ viết nhầm sang đẳng thức của hình bình hành ABCD thông thường là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$).

• Ta tiến hành lập biểu thức tọa độ cho hai vectơ trên:

  • Vectơ $\overrightarrow{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (2 - x_D; 1 - y_D)$

  • Vectơ $\overrightarrow{BC} = (-3; -3)$ (đã tính được từ câu a)

• Cho các tọa độ tương ứng bằng nhau, ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

  $$\begin{cases} 2 - x_D = -3 \\ 1 - y_D = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = 2 - (-3) \\ y_D = 1 - (-3) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = 5 \\ y_D = 4 \end{cases}$$

Kết luận câu d: Tọa độ điểm cần tìm để tứ giác $BCAD$ tạo thành một hình bình hành là $D(5; 4)$.

IV. Mẹo làm bài nhanh đỉnh hình bình hành (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tiết kiệm thời gian tối đa khi gặp câu hỏi d dưới dạng trắc nghiệm, các em hãy áp dụng tính chất tổng tọa độ các cặp đỉnh đối diện trong hình bình hành:

Với hình bình hành $BCAD$, hai cặp đỉnh đối diện nhau lần lượt là $(B, A)$ và $(C, D)$. Khi đó, ta luôn có công thức tính nhanh tọa độ đỉnh $D$ như sau:

$$x_D = x_B + x_A - x_C$$

$$y_D = y_B + y_A - y_C$$

Áp dụng nhẩm nhanh vào bài toán:

• Hoành độ: $x_D = (-2) + 2 - (-5) = 5$

• Tung độ: $y_D = 5 + 1 - 2 = 4$

• Chúng ta tìm ra ngay kết quả điểm $D(5; 4)$ chỉ trong vòng 3 giây mà không cần mất công thiết lập hệ phương trình vectơ đại số!

V. Kết luận

Bài tập 4.35 là một bài toán hình học Oxy vô cùng toàn diện, giúp học sinh tổng ôn và bao quát lại toàn bộ các kỹ năng tính toán từ cơ bản đến nâng cao của chương IV. Việc hiểu rõ bản chất phép nhân vuông góc và quy tắc đọc tên hình bình hành sẽ giúp các em tự tin chinh phục điểm 9, 10 trong các kỳ thi sắp tới.