[Tổng hợp đầy đủ] Giới hạn của hàm số, cách tính và bài tập Toán 11

A. Lý thuyết và các dạng Bài tập có lời giải chi tiết

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

• $\lim_{x \to x_0} x = x_0$

• $\lim_{x \to x_0} c = c$ ($c$: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ thì:

• $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$

• $\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M$

• $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$

• $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, $(M \neq 0)$

b) Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì:

• $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$

c) Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì $\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L|$

II. Giới hạn vô cực. Giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

• $\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty$

• $\lim_{x \to -\infty} x^k = \begin{cases} +\infty & \text{nếu } k \text{ chẵn} \\ -\infty & \text{nếu } k \text{ lẻ} \end{cases}$

• $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

• $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^k} = 0$

• $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

• $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

• $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{|x|} = +\infty$

2. Định lý:

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \neq 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = \pm\infty$ thì: $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \pm\infty$.

Bảng sau:

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \neq 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ thì: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \pm\infty$.

Bảng sau:

III. Giới hạn 1 bên

• Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

• Chú ý: Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi $x$ tiến tới $0$ của $\frac{\sin x}{x} = 1$

Vấn đề 1: $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ và $\lim_{x \to x_0^+} \frac{P(x)}{Q(x)}$, $\lim_{x \to x_0^-} \frac{P(x)}{Q(x)}$

Dạng 1: $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)} = \frac{L}{M}, M \neq 0, L \neq 0$

• Phương pháp: Thế $x_0$ vào $\frac{P(x)}{Q(x)}$: $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{L}{M}$

Ví dụ 1: Tính giới hạn:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{1^3 - 8}{1^2 - 4} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$

b) $\lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x} = \frac{2 - \sqrt{4 - 3}}{3} = \frac{1}{3}$

c) $\lim_{x \to -3} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt{1 - x}}{x} = \frac{\sqrt[3]{-3 + 1} - \sqrt{1 + 3}}{-3} = \frac{2 + \sqrt[3]{2}}{3}$

d) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$

e) $\lim_{x \to 3^+} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{|2 - 3|}{2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 2} = \frac{1}{5}$

Bài tập vận dụng dạng 1:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 + x}$

b) $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} - x}{x - 1}$

c) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{4})}{x}$

d) $\lim_{x \to 1} \frac{|x - 1|}{x^4 + x - 3}$

e) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1}}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{x + 1}$

g) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 8} - 3}{x - 2}$

h) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - \sqrt{3x - 2}}{x + 1}$

i) $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{2}$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + x + x^2 + x^3}{1 + x}$

b) $\lim_{x \to (-1)^-} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} - x}{x - 1}$

c) $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{4})}{x}$

d) $\lim_{x \to (-1)^+} \frac{|x - 1|}{x^4 + x - 3}$

e) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1}}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{x + 1}$

g) $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 8} - 3}{x - 2}$

h) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - \sqrt{3x - 2}}{x + 1}$

i) $\lim_{x \to 0^+} x^2 \sin \frac{1}{2}$

Dạng 2: $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)} = \frac{0}{M}$, $M \neq 0$

• Phương pháp: Thế $x_0$ vào $\frac{P(x)}{Q(x)}$: $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{0}{M} = 0$

Ví dụ 2: Tính các giới hạn

a) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 + 4} = \frac{2^3 - 8}{2^2 + 4} = \frac{0}{8} = 0$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x + 1} = \frac{2 - \sqrt{4 - 0}}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt{1 - x}}{x + 1} = \frac{\sqrt[3]{0 + 1} - \sqrt{1 - 0}}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

d) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x + 1} = \frac{\sin 0}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

e) $\lim_{x \to 2^+} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 1} = \frac{|2 - 2|}{2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0$

Bài tập vận dụng dạng 2:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0} \frac{x + x^2 + x^3}{1 + x}$

b) $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} + 2x}{x - 1}$

c) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{2x}$

d) $\lim_{x \to 1} \frac{|x - 1|}{x^4 + x - 3}$

e) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 - 1} - 1}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 2} - 1}{x + 1}$

g) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 8} - 2}{x - 2}$

h) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - \sqrt{3x - 2}}{x + 1}$

i) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos x}$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0^+} \frac{x + x^2 + x^3}{1 + x}$

b) $\lim_{x \to (-1)^-} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} + 2x}{x - 1}$

c) $\lim_{x \to \pi^+} \frac{\sin x}{2x}$

d) $\lim_{x \to 1^+} \frac{|x - 1|}{x^4 + x - 3}$

e) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{x^2 - 1} - 1}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 2} - 1}{x + 1}$

g) $\lim_{x \to (-4)^+} \frac{\sqrt{x + 8} - 2}{x - 2}$

h) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - \sqrt{3x - 2}}{x + 1}$

i) $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\cos x}$

Dạng 3: $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)} = \frac{L}{0}$, $L \neq 0$

• Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực (Quy tắc 1 & Quy tắc 2)

Ví dụ 3: Tính giới hạn

a) $\lim_{x \to 2^+} \frac{x - 8}{x - 2} = -\infty$

Do: $\begin{cases} \lim_{x \to 2^+} (x - 8) = -6 \\ \lim_{x \to 2^+} (x - 2) = 0 \\ x - 2 > 0, \forall x > 2 \end{cases}$

b) $\lim_{x \to 2} \frac{x - 8}{(x - 2)^2} = -\infty$

Do: $\begin{cases} \lim_{x \to 2} (x - 8) = -6 \\ \lim_{x \to 2} (x - 2)^2 = 0 \\ (x - 2)^2 > 0, \forall x \neq 2 \end{cases}$

Bài tập vận dụng dạng 3:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x + x^2 + x^3}{x^2}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} + 2x}{(x - 1)^2}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x^2}$

d) $\lim_{x \to 1} \frac{|x + 1|}{(x^4 + x - 2)^2}$

e) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} + 1}{(x - 1)^2}$

f) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 2} + 1}{(x - 1)^4}$

g) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} + 2}{(x - 2)^4}$

h) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} + \sqrt{3x - 2}}{(x - 2)^6}$

i) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x^4}$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to (-1)^+} \frac{x + x^2 + x^3}{1 + x}$

b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} + 2x}{x - 1}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x}{\sin x}$

d) $\lim_{x \to 1^+} \frac{|x + 1|}{x^4 + 2x - 3}$

e) $\lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x^2 + x - 1} + 1}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to -1^-} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 2} + 1}{x + 1}$

g) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{x + 6} + 2}{x - 2}$

h) $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} + \sqrt{3x - 2}}{2 - x}$

i) $\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{x}$

Dạng 4: $\frac{P(x_0)}{Q(x_0)} = \frac{0}{0}$

• Phương pháp:

  • Nhóm các nhân tử chung: $x - x_0$

  • Nhân thêm lượng liên hợp

  • Thêm, bớt số hạng vắng.

a) $L = \lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ với $P(x), Q(x)$ là các đa thức và $P(x_0) = Q(x_0) = 0$

Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

• Ví dụ 4: Tính giới hạn:

  • $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{12}{4} = 3$

b) $L = \lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x), Q(x)$ là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

Ta sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử thức và mẫu thức.

• Ví dụ 5: Tính giới hạn:

  • $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{4 - x})(2 + \sqrt{4 - x})}{x(2 + \sqrt{4 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2^2 - (\sqrt{4 - x})^2}{x(2 + \sqrt{4 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 + \sqrt{4 - x}} = \frac{1}{4}$

c) $L = \lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x)$ là biểu thức chứa căn không đồng bậc.

Giả sử: $P(x) = \sqrt[m]{u(x)} - \sqrt[n]{v(x)}$ với $\sqrt[m]{u(x_0)} = \sqrt[n]{v(x_0)} = a$

Ta phân tích: $P(x) = (\sqrt[m]{u(x)} - a) + (a - \sqrt[n]{v(x)})$

• Ví dụ 6: Tìm giới hạn:

  • $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt{1 - x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{x} \right)$

  • $= \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1} + \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

Bài tập vận dụng dạng 4:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 3x + 2}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^3 - 2x^2 + 1}$

c) $\lim_{x \to -1} \frac{x^5 + 1}{x^3 + 1}$

d) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x^4 - 8x^2 - 9}$

e) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 5x^5 + 4x^6}{(1 - x)^2}$

f) $\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1}$

g) $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}{x}$

h) $\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x - 1}$

i) $\lim_{x \to -2} \frac{x^4 - 16}{x^3 + 2x^2}$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 3x + 2}$

b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^4 - 1}{x^3 - 2x^2 + 1}$

c) $\lim_{x \to (-1)^+} \frac{x^5 + 1}{x^3 + 1}$

d) $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x^4 - 8x^2 - 9}$

e) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 5x^5 + 4x^6}{(1 - x)^2}$

f) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^m - 1}{x^n - 1}$

g) $\lim_{x \to 0^+} \frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}{x}$

h) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x - 1}$

i) $\lim_{x \to (-2)^+} \frac{x^4 - 16}{x^3 + 2x^2}$

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 4}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x - 1}}{\sqrt[3]{4x + 4} - 2}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x}$

d) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 7} - 3}$

e) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 2} - \sqrt{3x + 1}}{x - 1}$

f) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4}$

g) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt[3]{1 + x} - 1}$

h) $\lim_{x \to -3} \frac{x + \sqrt{3 - 2x}}{x^2 + 3x}$

i) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 16} - 7}{x}$

¤ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{1 + x}}{x}$

b) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x + 11} - \sqrt{x + 7}}{x^2 - 3x + 2}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

d) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 4x} - \sqrt[3]{1 + 6x}}{x^2}$

e) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x + 11} - \sqrt{x + 7}}{2x^2 - 5x + 2}$

f) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 - x^3} - \sqrt[3]{x^2 + 7}}{x^2 - 1}$

g) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 4x} \cdot \sqrt{1 + 6x} - 1}{x}$

h) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} \cdot \sqrt[3]{1 + 4x} - 1}{x}$

i) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt{1 - x}}{x}$

Dạng 5: $P(x_0) \cdot Q(x_0) = 0 \cdot \infty$ ($\lim_{x \to x_0} P(x) \cdot Q(x)$)

• Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên.

• Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2} (x - 2)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 4}} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{0 \cdot \sqrt{2}}{2} = 0$

b) $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 4}} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{0 \cdot \sqrt{2}}{2} = 0$

Bài tập vận dụng dạng 5

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 3} (x - 3)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 9}}$

b) $\lim_{x \to 4} (x - 4)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 16}}$

c) $\lim_{x \to 1} (x - 1)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 1}}$

d) $\lim_{x \to \sqrt{2}} (x - \sqrt{2})\sqrt{\frac{x}{x^2 - 2}}$

e) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (x - \sqrt{3})\sqrt{\frac{x}{x^2 - 3}}$

f) $\lim_{x \to 5} (x - 5)\sqrt{\frac{x}{x^2 - 25}}$

Dạng 6: $P(x_0) - Q(x_0) = \infty - \infty$ ($\lim_{x \to x_0} (P(x) - Q(x))$)

• Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên.

• Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

• $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{1 - x^2} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{x - 1}{1 - x^2} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{-1}{1 + x} \right) = -\frac{1}{2}$

Bài tập vận dụng dạng 6:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{2 - x} - \frac{4}{4 - x^2} \right)$

b) $\lim_{x \to 3} \left( \frac{1}{3 - x} - \frac{6}{9 - x^2} \right)$

c) $\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{4 - x} - \frac{8}{16 - x^2} \right)$

d) $\lim_{x \to 5} \left( \frac{1}{5 - x} - \frac{10}{25 - x^2} \right)$

e) $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} \right)$

f) $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x^2 - 3x + 2} + \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \right)$

Vấn đề 2: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$

Dạng 1: $\frac{\infty}{\infty}$ với $\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \pm\infty, \lim_{x \to \pm\infty} Q(x) = \pm\infty$

• Phương pháp:

  • Nếu $P(x), Q(x)$ là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$.

  • Nếu $P(x), Q(x)$ có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ hoặc nhân lượng liên hợp.

• Chú ý:

• Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 6x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{x^2}} = 2$

b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 6x + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{x^2}} = 2$

c) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{\sqrt{4x^2 + 1} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} - 1} = -\frac{2}{3}$

d) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3}{\sqrt{4x^2 + 1} - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} - 1} = 2$

Bài tập vận dụng dạng 1:

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 - x + 1}$

b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 - x + 1}{x - 2}$

c) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^3 - 3x^2 + 2}$

d)$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + 4x + 1}{\sqrt{4x^2 + 1} + 2 - x}$

e)$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + 2 - x}{\sqrt{9x^2 - 3x} + 2x}$

f) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x\sqrt{x} + 1}{x^2 + x + 1}$

g) $\lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 1)\sqrt{x^2 - 3}}{x - 5x^2}$

h) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + 3x}{\sqrt{4x^2 + 1} - x + 2}$

i) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 5x + 2}{2|x| + 1}$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 - x + 1}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x + 1}{x - 2}$

c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^3 - 3x^2 + 2}$

d) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + 4x + 1}{\sqrt{4x^2 + 1} + 2 - x}$

e) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + 2 - x}{\sqrt{9x^2 - 3x} + 2x}$

f) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{x} + 1}{x^2 + x + 1}$

g) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x - 1)\sqrt{x^2 - 3}}{x - 5x^2}$

h) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + 3x}{\sqrt{4x^2 + 1} - x + 2}$

i) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5x + 2}{2|x| + 1}$

Dạng 2: $\infty - \infty$ ($\lim_{x \to \pm\infty} (P(x) - Q(x))$ với $\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \pm\infty, \lim_{x \to \pm\infty} Q(x) = \pm\infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)

• Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu.

• Ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{1 + x})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}} = 0$

b) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt[3]{1 + x^2 - x^3} + x)$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + x^2}{(\sqrt[3]{1 + x^2 - x^3})^2 - x\sqrt[3]{1 + x^2 - x^3} + x^2}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{(\sqrt[3]{\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x} - 1})^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x} - 1} + 1} = \frac{1}{3}$

Bài tập vận dụng dạng 2:

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

a) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x + 5} + x)$

b) $\lim_{x \to \infty} (2x - 1 - \sqrt{4x^2 - 4x + 2})$

c) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1})$

d) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^4 + x^2 + 10} + x^2)$

e) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{2x - 1} - \sqrt[3]{2x + 1})$

f) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1} + \sqrt{x^2 - x + 2})$

¤ Bài tập 2: Tìm giới hạn sau

a) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$

b) $\lim_{x \to +\infty} (2x - 1 - \sqrt{4x^2 - 4x - 3})$

c) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt[3]{x^3 - 1})$

d) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x})$

e) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{2x - 1} - \sqrt[3]{2x + 1})$

f) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1} - \sqrt{x^2 + x + 2})$

Dạng 3: $0 \cdot \infty$ ($\lim_{x \to \pm\infty} (P(x) \cdot Q(x))$ với $\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = 0, \lim_{x \to \pm\infty} Q(x) = \pm\infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)

• Phương pháp: Sử dụng tổng hợp các phương pháp trên.

• Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to +\infty} (x + 1)\left(\frac{x - 2}{x^2 + 1}\right)$

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$

b) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 1)\left(\frac{\sqrt{x^2 + 2} + 1}{x^2 + 1}\right)$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 + 2} + x^2 - 1}{x^2 + 1}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(1 - \frac{1}{x^2})\sqrt{1 + \frac{2}{x^2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}} = \infty$

Do: $\lim_{x \to -\infty} (1 - \frac{1}{x^2})\sqrt{1 + \frac{2}{x^2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} = 1$; $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}) = 0$

Bài tập vận dụng dạng 3:

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

a) $\lim_{x \to -\infty} (x - 1)\left(\frac{x - 3}{x^2 + 1}\right)$

b) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + 1)\left(\frac{x^2 - 2}{x^4 + 1}\right)$

c) $\lim_{x \to -\infty} (x + 1)\left(\frac{x^2 + 2}{x^3 + 1}\right)$

d) $\lim_{x \to -\infty} (x + 1)\left(\frac{x + 2}{x^3 + 1}\right)$

e) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + 1)\left(\frac{\sqrt{x^2 + 2} + 1}{x^3 + 1}\right)$

f) $\lim_{x \to -\infty} (x + 1)\left(\frac{\sqrt{4x^4 + 2} + x^2}{x^3 + 1}\right)$

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x \to +\infty} (x - 1)\left(\frac{x - 3}{x^2 + 1}\right)$

b) $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)\left(\frac{x^2 - 2}{x^4 + 1}\right)$

c) $\lim_{x \to +\infty} (x + 1)\left(\frac{x^2 + 2}{x^3 + 1}\right)$

d) $\lim_{x \to +\infty} (x + 1)\left(\frac{x + 2}{x^3 + 1}\right)$

e) $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)\left(\frac{\sqrt{x^2 + 2} + 1}{x^3 + 1}\right)$

f) $\lim_{x \to +\infty} (x + 1)\left(\frac{\sqrt{4x^4 + 2} + x^2}{x^3 + 1}\right)$

B. Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm

• Sử dụng cách tính giới hạn của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & \text{khi } x > 0 \\ \frac{1}{2} & \text{khi } x \le 0 \end{cases}$ tại $x = 0$

• Hướng dẫn:

  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$

  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$

  Do: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2}$ nên $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x+3}{x+2} & \text{nếu } x < 1 \\ mx + 2 & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại $x = 1$

• Hướng dẫn:

  $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{3x+3}{x+2} \right) = 2$

  $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (mx + 2) = m + 2$

• Để hàm số có giới hạn tại $x = 1$ thì:

  $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow m + 2 = 2 \Rightarrow m = 0$

Bài tập vận dụng

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra

a) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} & \text{nếu } x > 0 \\ \frac{3}{2} & \text{nếu } x \le 0 \end{cases}$ tại $x = 0$

b) $f(x) = \begin{cases} \frac{9-x^2}{x-3} & \text{nếu } x < 3 \\ 1-x & \text{nếu } x \ge 3 \end{cases}$ tại $x = 3$

c) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-2x}{8-x^3} & \text{nếu } x > 2 \\ \frac{x^4-16}{x-2} & \text{nếu } x < 2 \end{cases}$ tại $x = 2$

d) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x^2-1} & \text{nếu } x > 1 \\ -\frac{x}{2} & \text{nếu } x \le 1 \end{cases}$ tại $x = 1$

¤ Bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra

a) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1} & \text{nếu } x < 1 \\ mx + 2 & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại $x = 1$

b) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} - \frac{3}{x^3-1} & \text{nếu } x > 1 \\ m^2 x^2 - 3mx + 3 & \text{nếu } x \le 1 \end{cases}$ tại $x = 1$

c) $f(x) = \begin{cases} x + m & \text{khi } x < 0 \\ \frac{x^2+100x+3}{x+3} & \text{khi } x \ge 0 \end{cases}$ tại $x = 0$

d) $f(x) = \begin{cases} x + 3m & \text{nếu } x < -1 \\ x^2 + x + m + 3 & \text{nếu } x \ge -1 \end{cases}$ tại $x = -1$