Giải bài 4.39 trang 102 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số  bằng

A. 1/2      B. 1/3

C. 1/4      D. 2/3

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm tỉ số SK​/SC, chúng ta sẽ sử dụng một đường thẳng phụ để áp dụng định lý Thalès.

1. Xác định giao điểm K: Giao tuyến của mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (SAC) chính là đường thẳng nối A với giao điểm của MN và SO (với O là tâm của hình bình hành ABCD). Điểm K chính là giao điểm của giao tuyến này với SC.

2. Sử dụng đường trung bình: M và N là trung điểm của SB và SD, nên MN là đường trung bình của tam giác SBD. Điều này sẽ giúp ta tìm ra tỉ lệ liên quan đến SO.

3. Áp dụng định lý Thalès: Sử dụng định lý Thalès trong các tam giác để tìm tỉ số SK​/SC​.

Lời giải chi tiết:

Đáp án: B

Ta có hình minh hoạ sau:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (SBD), SO cắt MN tại J.

Trong mặt phẳng (SAC), AJ cắt SC tại K.

Vì J thuộc MN nên J thuộc mặt phẳng (AMN) nên K thuộc AJ thì K thuộc mặt phẳng (AMN). Do đó K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC.

Tam giác SBD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MN // BD hay NJ // DO.

Xét ΔSDO có NJ // DO và N là trung điểm của SD nên suy ra J là trung điểm của SO.

Trong mặt phẳng (SAC), từ O kẻ OE song song với AK (E thuộc SC).

Xét ΔSOE có JK // OE (do AK // OE), theo định lí Thalés ta có: 

Xét ΔCAK có OE // AK, theo định lí Thalés ta có: 

Vì vậy, E là trung điểm của CK.

Vậy SK = KE = CE, suy ra