Giải bài 5.15 trang 122 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) 

b) 

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để xét tính liên tục của một hàm số trên tập xác định của nó, ta cần xem xét hai trường hợp:

1. Hàm số có dạng phân thức, đa thức, lượng giác...: Các hàm số này liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Ta chỉ cần tìm tập xác định và kết luận.

2. Hàm số cho bởi nhiều công thức: Ta cần xét tính liên tục tại các điểm mà công thức thay đổi.

   • Hàm số liên tục tại điểm x0​ nếu limx→x0+​​f(x)=limx→x0−​​f(x)=f(x0​).

   • Nếu hàm số gián đoạn tại một điểm, ta sẽ tìm các khoảng mà hàm số liên tục.

Lời giải chi tiết:

a) 

f(x) có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0

Nên tập xác định của hàm số f(x) là: ℝ \ {–3; –2} = (–∞; –3) ∪ (–3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.

⇒ Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; –3), (–3; –2) và (–2; +∞).

b) 

Tập xác định của hàm số là ℝ.

• Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x².

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).

• Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (1; +∞).

• Xét tại điểm x = 1, ta có:

Do đó, không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.