Giải bài 4.24 trang 94 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁, C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B­₂, C₂.

Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh các đẳng thức về độ dài, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thalès trong không gian. Định lý này phát biểu rằng: Nếu ba mặt phẳng song song đôi một và cắt hai đường thẳng bất kỳ, thì chúng định ra trên hai đường thẳng đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

1. Xác định các mặt phẳng song song: Ta có ba mặt phẳng $(ABC)$, $(P)$, và $(Q)$ đôi một song song.

2. Áp dụng Thalès trong không gian: Ta sẽ áp dụng định lý này cho ba mặt phẳng trên và các đường thẳng $SA,SB,SC$.

3. Kết hợp các tỉ lệ: Dựa vào giả thiết AA1​=A1​A2​=A2​S, chúng ta sẽ suy ra các tỉ lệ tương ứng trên các cạnh $SB$ và $SC$.

4. Kết luận: Từ các tỉ lệ đã chứng minh, ta suy ra các đẳng thức về độ dài cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với mặt phẳng (ABC) nên (P) // (Q)

⇒ Ba mặt phẳng (ABC), (P) và (Q) đôi một song song.

Theo định lí Thalés trong không gian, ta có:

Mà AA₁ = A₁A₂ nên 

Vì vậy BB₁ = B₁B₂ và CC₁ = C₁C₂.

Sử dụng định lí Thalés ta cũng chứng minh được:

Mà A₁A₂ = A₂S nên

Vậy BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.