Giải bài 5.4 trang 109 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Phân tích và Phương pháp giải:

Để viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, ta có thể tách nó thành phần nguyên và phần thập phân. Phần thập phân vô hạn tuần hoàn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

• Cấp số nhân lùi vô hạn là một dãy số mà tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số và có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

• Công thức tổng: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là ​​, trong đó u1​ là số hạng đầu tiên và $q$ là công bội.

Giải bài 5.4 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212...

= 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Vì 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

Vậy: 

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102...

= 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Vì 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

Vậy: