Hotline 0936685849

Giải bài 5.3 trang 109 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

19:59:2807/10/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải chi tiết Bài 5.3 trang 109 sách giáo khoa Toán 11 Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài toán này giúp các em củng cố cách tính giới hạn của dãy số, bao gồm cả các trường hợp giới hạn là vô cùng.

Đề bài:

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $\small u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$

b) $\small v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$

Phân tích và Phương pháp giải:

Để tìm giới hạn của một dãy số, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Chia cho lũy thừa cao nhất: Với các phân thức có chứa đa thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ . Điều này giúp đơn giản hóa biểu thức và tìm ra giới hạn.
Nhân liên hợp: Với các biểu thức có chứa căn bậc hai và có dạng vô định $(\infty - \infty)$ , ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp để khử dạng vô định, sau đó áp dụng phương pháp chia cho lũy thừa cao nhất.

Lời giải chi tiết:

a) $\small u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được:

$\small u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}$

Vì: $\small \lim_{n \to +\infty }\left ( 1+\frac{1}{n^2} \right )=1>0$

$\small \lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{2}{n}-\frac{1}{n^2} \right )=0$ và $\small \frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}>0$ với mọi n

Nên: $\small \lim_{n \to +\infty }u_n= \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+1}{2n-1}=+\infty$

b) $\small v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$

Ta có: $\small \lim_{n \to +\infty }v_n=\lim_{n \to +\infty } \left (\sqrt{2n^2+1}-n \right )$

$\small =\lim_{n \to +\infty }\left ( \sqrt{n^2\left ( 2+\frac{1}{n^2} \right )} -n\right )$ $\small =\lim_{n \to +\infty }\left ( n\sqrt{\left ( 2+\frac{1}{n^2} \right )} -n\right )$ $\small =\lim_{n \to +\infty }\left [ n\left (\sqrt{2+\frac{1}{n^2} } -1 \right ) \right ]$

Vì $\small = \lim_{n \to +\infty } \left( \sqrt{ 2+\frac{1}{n^2}} -1 \right) = \sqrt{2} -1>0$

Và $\small =\lim_{n \to +\infty }n=+\infty$

Nên: $\small \lim_{n \to +\infty }\left [ n\left (\sqrt{2+\frac{1}{n^2} } -1 \right ) \right ]=+\infty$

Vậy $\small \lim_{n \to +\infty }v_n=\lim_{n \to +\infty } \left (\sqrt{2n^2+1}-n \right )=+\infty$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính giới hạn của dãy số trong các trường hợp phức tạp hơn. Việc nắm vững các phương pháp khử dạng vô định là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm các giới hạn sau:...

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với... tìm các giới hạn sau....

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:...

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống...

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC...