Hotline 0936685849

Giải bài 5.12 trang 118 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

10:31:4309/10/2023

Chào các em! Tính giới hạn là một kỹ năng quan trọng trong giải tích. Khi gặp các dạng vô định như $\frac{\infty}{\infty}$ hoặc $\infty - \infty$, chúng ta cần sử dụng các phương pháp biến đổi đại số để tìm ra kết quả chính xác. Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 sẽ giúp các em củng cố kiến thức này. Hãy cùng nhau khám phá nhé!

Đề bài:

Tính các giới hạn sau:

a) $\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$

b) $\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{x^2+x+2}-x \right )$

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các phương pháp phù hợp cho từng dạng vô định:

Câu a): Đây là dạng vô định $\frac{\infty}{\infty}$. Ta sẽ chia cả tử và mẫu cho $x$ với lũy thừa cao nhất ở mẫu số.
Câu b): Đây là dạng vô định $\infty - \infty$. Ta sẽ nhân và chia với biểu thức liên hợp để loại bỏ căn thức ở tử số.

Các bước này sẽ giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức và tìm ra giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) $\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2\left (1+\frac{1}{x^2} \right )}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x\left (\frac{1}{x}-2 \right )}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{-2}{\sqrt{1}}=-2$

b) $\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{x^2+x+2}-x \right )$

Ta có:

$\small \sqrt{x^2+x+2}-x$ $\small =\frac{(\sqrt{x^2+x+2}-x)(\sqrt{x^2+x+2}+x)}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

$\small =\frac{(\sqrt{x^2+x+2})^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

Vì vậy:

$\small \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \sqrt{x^2+x+2}-x \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+2}{ \sqrt{x^2+x+2}+x}$

$\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x\left (1+\frac{2}{x} \right )}{ x\left (\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x}}+1 \right )}$ $\small =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1+\frac{2}{x} }{ \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x}}+1 }=\frac{1}{2}$

Qua bài 5.11, các em đã rèn luyện được kỹ năng xét giới hạn một bên của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. Việc phân tích biểu thức giá trị tuyệt đối dựa trên khoảng giá trị của $x$ là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán này. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hai hàm số ... và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?...

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Tính các giới hạn sau:...

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hàm số: ... (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả...

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Tính các giới hạn một bên:...

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hàm số...

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hàm số:...