Giải bài 4.41 trang 103 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAC) và (SBD).

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của chúng. Tuy nhiên, nếu hai mặt phẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ song song với đường thẳng đó.

1. Giao tuyến khi hai mặt phẳng cắt nhau: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là giao tuyến.

2. Giao tuyến khi hai mặt phẳng song song với một đường thẳng: Tìm một điểm chung, sau đó kẻ đường thẳng đi qua điểm chung đó và song song với đường thẳng đã cho.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Ta có:

ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F là giao điểm của AD và BC.

Khi đó F thuộc AD nên F thuộc mặt phẳng (SAD), F thuộc BC nên F thuộc mặt phẳng (SBC), vậy F là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Lại có S là một điểm chung khác của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Vì vậy, SF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung S và song song với AB, CD.

Qua S, vẽ đường thẳng d song song với AB, CD.

⇒ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AC và BD. Vì E thuộc AC nên E thuộc mặt phẳng (SAC), vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (SBD).

Do vậy, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Lại có S là một điểm chung khác của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

⇒ SE là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).