Giải bài 5.16 trang 122 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Tìm giá trị của tham số m để hàm số  liên tục trên ℝ.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, nó phải liên tục trên từng khoảng con và tại điểm mà công thức hàm số thay đổi.

1. Tính liên tục trên các khoảng con:

   • Khi $x>0$, $f(x)=\sin x$ là một hàm lượng giác, nên nó liên tục.

   • Khi $x<0$, $f(x)=-x+m$ là một đa thức, nên nó liên tục.

2. Tính liên tục tại điểm $x=0$:

   • Đây là điểm mà công thức hàm số thay đổi, nên ta cần xét tính liên tục tại điểm này.

   • Một hàm số liên tục tại x0​ nếu limx→x0+​​f(x)=limx→x0−​​f(x)=f(x0​).

Chúng ta sẽ sử dụng điều kiện này để tìm giá trị của $m$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là ℝ.

• Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).

• Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).

Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).

Vì vậy, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi 

Lại có:

Khi đó: (*) ⇔ m = 0.

Vậy m = 0 thì f(x) liên tục trên R.