Bài 5.5 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.5 (SGK Toán 10 - Trang 77)

An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính $R = 2\text{ cm}$ với hai kết quả như sau:

• Kết quả của An: $C_1 = 2\pi R = 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56\text{ cm}$.

• Kết quả của Bình: $C_2 = 2\pi R = 2 \cdot 3,1 \cdot 2 = 12,4\text{ cm}$.

Hỏi:

• a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

• b) Giá trị nào chính xác hơn?

II. Phương pháp giải và kiến thức cốt lõi

1. Bản chất số $\pi$: Số $\pi$ (Pi) là một số vô tỷ, biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $\pi = 3,1415926535...$ Do đó, mọi giá trị hữu hạn như $3,14$ hay $3,1$ đều chỉ là số gần đúng của $\pi$.

2. Công thức tính chu vi hình tròn đúng: $C = 2\pi R$.

3. Sai số tuyệt đối: Sai số tuyệt đối của một số gần đúng $a$ so với số đúng $\bar{a}$ là trị tuyệt đối của hiệu giữa chúng: $\Delta_a = |\bar{a} - a|$. Số gần đúng nào có sai số tuyệt đối càng nhỏ thì số đó càng chính xác.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.5

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

• Lập luận: Giá trị chính xác tuyệt đối của hằng số lượng giác $\pi$ là một dãy số thập phân kéo dài vô hạn: $\pi \approx 3,141592654...$

• Khi bạn An chọn giá trị $3,14$ và bạn Bình chọn giá trị $3,1$ để thay vào công thức, hai bạn đều đã sử dụng các số làm tròn (số xấp xỉ) thay cho giá trị đúng của $\pi$.

• Vì các hệ số nhân đầu vào là số gần đúng, nên kết quả chu vi $12,56\text{ cm}$ và $12,4\text{ cm}$ thu được sau phép tính toán học cũng bắt buộc phải là các số xấp xỉ.

Kết luận câu a: Cả hai giá trị chu vi mà An và Bình tính được đều là các số gần đúng.

b) Giá trị chu vi của bạn nào tính toán chính xác hơn?

Để biết kết quả của bạn nào sát với thực tế nhất, ta tiến hành lập biểu thức tính sai số tuyệt đối của từng phép đo so với công thức chu vi đúng $\bar{C} = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi$:

• Sai số tuyệt đối trong phép tính của bạn An (ký hiệu là $\Delta_1$):

  $$\Delta_1 = |\bar{C} - C_1| = |4\pi - 4 \cdot 3,14| = 4 \cdot |\pi - 3,14|$$

• Sai số tuyệt đối trong phép tính của bạn Bình (ký hiệu là $\Delta_2$):

  $$\Delta_2 = |\bar{C} - C_2| = |4\pi - 4 \cdot 3,1| = 4 \cdot |\pi - 3,1|$$

• Mạch so sánh đại số:

  Ta xét khoảng cách trên trục số từ số đúng $\pi = 3,141592...$ đến hai số làm tròn:

  • Khoảng cách đến số của An: $|\pi - 3,14| = |3,141592... - 3,14| = 0,001592...$

  • Khoảng cách đến số của Bình: $|\pi - 3,1| = |3,141592... - 3,1| = 0,041592...$

  Vì $0,001592... < 0,041592... \Rightarrow |\pi - 3,14| < |\pi - 3,1|$

  $$\Rightarrow 4 \cdot |\pi - 3,14| < 4 \cdot |\pi - 3,1| \Leftrightarrow \Delta_1 < \Delta_2$$

Do sai số tuyệt đối trong phép tính của bạn An nhỏ hơn sai số tuyệt đối của bạn Bình ($\Delta_1 < \Delta_2$), nên kết quả của bạn An có độ lệch thấp hơn và đáng tin cậy hơn.

Kết luận câu b: Giá trị chu vi do bạn An tính toán chính xác hơn.

IV. Mẹo làm bài nhanh không cần tính toán (Dành cho thi trắc nghiệm)

Đối với các câu hỏi trắc nghiệm so sánh mức độ chính xác của các số thập phân làm tròn, các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể chốt đáp án ngay lập tức bằng một mẹo lý thuyết cực kỳ đơn giản sau:

Mẹo số chữ số có nghĩa: Trong phép làm tròn số thập phân, số nào giữ lại nhiều chữ số sau dấu phẩy hơn (làm tròn mịn hơn) thì số đó luôn luôn có sai số tuyệt đối nhỏ hơn, đồng nghĩa với việc cho kết quả chính xác hơn.

Áp dụng nhẩm nhanh:

• Số của bạn An sử dụng là $3,14$ (có 2 chữ số sau dấu phẩy).

• Số của bạn Bình sử dụng là $3,1$ (chỉ có 1 chữ số sau dấu phẩy).

• Vì $2 > 1$ nên không cần đặt bút tính hiệu trị tuyệt đối, chúng ta hoàn toàn có thể khẳng định ngay kết quả của bạn An chắc chắn chính xác hơn bạn Bình. Mẹo này giúp các em tiết kiệm được ít nhất 30 giây làm bài thi!

V. Kết luận

Bài tập 5.5 là một câu hỏi liên hệ thực tế rất trực quan, giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của việc lựa chọn hàng làm tròn trong tính toán hình học phẳng. Việc giữ lại số chữ số thập phân hợp lý sau dấu phẩy sẽ giúp giảm thiểu tối đa sai số tích lũy của các công trình thiết kế kỹ thuật sau này.