Bài 4.31 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và phân tích toán học logic cho từng phương án.

I. Đề bài tập 4.31 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

• B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$

• C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$

• D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$

II. Các định lý và tính chất nền tảng cần bám sát

Để giải quyết bài toán định tính này, các em học sinh cần ghi nhớ hệ thống tính chất giáo khoa của phép nhân tích vô hướng:

1. Định nghĩa gốc: Tích vô hướng của hai vectơ luôn trả về kết quả là một số thực (không phải là một vectơ) và được tính theo hàm cosin:

   $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

2. Tính chất phân phối đối với phép trừ: Tích vô hướng có tính chất phân phối giúp ta nhân phá ngoặc tương tự như phép nhân các số thực đại số thông thường:

   $$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.31

Chúng ta tiến hành phân tích toán học chi tiết cho từng phương án để chỉ ra lỗi sai và tìm ra khẳng định đúng:

• Xét phương án A:

  • Vế trái: $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Vì tích vô hướng $(\vec{a} \cdot \vec{b})$ là một số thực, nên biểu thức này biểu diễn phép nhân giữa một số thực với vectơ $\vec{c}$. Kết quả thu được là một vectơ cùng phương với $\vec{c}$.

  • Vế phải: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$. Vì tích vô hướng $(\vec{b} \cdot \vec{c})$ là một số thực, nên biểu thức này biểu diễn phép nhân giữa một số thực với vectơ $\vec{a}$. Kết quả thu được là một vectơ cùng phương với $\vec{a}$.

  • Do vectơ cùng phương với $\vec{c}$ và vectơ cùng phương với $\vec{a}$ là hai vectơ hoàn toàn khác nhau về phương hướng nên dấu bằng không thể xảy ra (phép nhân tích vô hướng không có tính chất kết hợp). $\rightarrow$ A sai.

• Xét phương án B:

  Áp dụng công thức định nghĩa tích vô hướng vào vế trái, ta có:

  $$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \left[ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) \right]^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \cdot \cos^2(\vec{a}, \vec{b})$$

  Mặt khác, theo tính chất bình phương vô hướng thì $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$ và $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2$. Do đó vế phải bằng $|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2$.

  Vì có sự xuất hiện của hệ số góc $\cos^2(\vec{a}, \vec{b}) \le 1$ nên hai vế không thể bằng nhau với mọi vectơ. $\rightarrow$ B sai.

• Xét phương án C:

  Theo đúng định nghĩa trong sách giáo khoa, tích vô hướng của hai vectơ phải được tính theo hàm số cosin ($\cos$) chứ không phải hàm số sin ($\sin$).

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) \neq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$$

  $\rightarrow$ C sai.

• Xét phương án D:

  Đây chính là phát biểu chuẩn xác của Tính chất phân phối đối với phép trừ của tích vô hướng hai vectơ đã được nêu rõ trong phần lý thuyết trọng tâm của bài học. $\rightarrow$ D đúng.

Đáp án chính xác: D

IV. Mẹo nhận biết nhanh bản chất đại số (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có một tư duy phản xạ siêu tốc khi làm bài thi trắc nghiệm đối với các câu hỏi lý thuyết dài, các em chỉ cần áp dụng mẹo lọc thực thể số và vectơ:

• Khi gặp phương án A, các em hãy nhẩm: (Số) x Vectơ = Vectơ x (Số). Một bên cho ra vectơ theo hướng $\vec{c}$, một bên cho ra vectơ theo hướng $\vec{a}$. Hai hướng khác nhau hoàn toàn thì không bao giờ bằng nhau được! Các em có thể gạch bỏ ngay phương án A chỉ trong 2 giây mà không cần viết công thức góc dài dòng.

V. Kết luận

Bài tập 4.31 là một câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết vô cùng tinh tế. Nó giúp học sinh phân biệt rõ ràng giữa bản chất đại lượng hình học vectơ và đại lượng số thực, đồng thời khắc sâu các tính chất phân phối toán học căn bản.