Bài 4.28 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp lập luận loại trừ đáp án nhanh chóng.

I. Đề bài tập 4.28 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

• A. $\vec{u}(2; 3)$ và $\vec{v}(4; 6)$

• B. $\vec{a}(1; -1)$ và $\vec{b}(-1; 1)$

• C. $\vec{z}(a; b)$ và $\vec{t}(-b; a)$

• D. $\vec{n}(1; 1)$ và $\vec{k}(2; 0)$

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Định lý hình học: Hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$ (đều khác $\vec{0}$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng số $0$:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Công thức tích vô hướng đại số: Trong hệ tọa độ phẳng $Oxy$, tích vô hướng được tính bằng tổng của tích hoành độ và tích tung độ:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$

Để tìm ra đáp án đúng, chúng ta chỉ cần lần lượt tính tích vô hướng của từng cặp vectơ trong các phương án, cặp nào cho kết quả bằng $0$ thì cặp đó vuông góc với nhau.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.28

Các em tiến hành khai triển phép nhân tích vô hướng cho từng phương án để biện luận loại trừ:

• Xét phương án A:

  Ta tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}(2; 3)$ và $\vec{v}(4; 6)$:

  $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 8 + 18 = 26$$

  Vì tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v} = 26 \neq 0$ nên hai vectơ này không vuông góc (chúng thực chất là hai vectơ cùng hướng vì có tỷ số hoành độ và tung độ bằng nhau: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$). $\rightarrow$ A sai.

• Xét phương án B:

  Ta tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}(1; -1)$ và $\vec{b}(-1; 1)$:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -1 + (-1) = -2$$

  Vì tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 \neq 0$ nên hai vectơ này không vuông góc (chúng là hai vectơ đối nhau vì $\vec{a} = -\vec{b}$). $\rightarrow$ B sai.

• Xét phương án C:

  Ta tính tích vô hướng của hai vectơ chứa tham số đại số $\vec{z}(a; b)$ và $\vec{t}(-b; a)$:

  $$\vec{z} \cdot \vec{t} = a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0$$

  Vì tích vô hướng $\vec{z} \cdot \vec{t} = 0$ nên hai vectơ này luôn luôn vuông góc với nhau với mọi hằng số hằng số $a, b$. $\rightarrow$ C đúng.

• Xét phương án D:

  Ta tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{n}(1; 1)$ và $\vec{k}(2; 0)$:

  $$\vec{n} \cdot \vec{k} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2 + 0 = 2$$

  Vì tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2 \neq 0$ nên hai vectơ này không vuông góc. $\rightarrow$ D sai.

Đáp án chính xác: C

IV. Mẹo nhận biết nhanh cặp vectơ vuông góc (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn đạt tốc độ phản xạ tối đa khi làm bài thi trắc nghiệm, các em hãy thuộc lòng cấu trúc của cặp vectơ vuông góc mẫu mực sau đây:

Nếu một vectơ có tọa độ dạng $\vec{z}(a; b)$ thì vectơ vuông góc với nó sẽ được tạo ra bằng cách: Đảo vị trí hoành độ và tung độ cho nhau, đồng thời thêm một dấu trừ vào một trong hai tọa độ.

$$\vec{t}_1(-b; a) \quad \text{hoặc} \quad \vec{t}_2(b; -2)$$

Áp dụng nhẩm nhanh: Nhìn vào phương án C, ta thấy ngay vectơ $\vec{t}(-b; a)$ được thiết lập đúng theo quy tắc đảo vị trí và đổi dấu của vectơ $\vec{z}(a; b)$. Chúng ta có thể khoanh ngay đáp án C chỉ trong vòng 2 giây mà không cần mất thời gian viết phép nhân ra nháp!

V. Kết luận

Bài tập 4.28 là một câu hỏi trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết và kỹ năng tính toán cơ bản nhưng rất đắt giá. Việc ghi nhớ mẹo đảo tọa độ đổi dấu sẽ giúp các em học sinh tăng tốc độ làm bài đáng kể và dành thời gian cho các câu hỏi hình học phân hóa phía sau.