Các dạng toán về căn bậc 2, căn bậc 3 và cách giải Toán 9 (cực hay)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm, các công thức biến đổi đại số cốt lõi, phân loại 5 dạng toán căn thức điển hình và cung cấp kho bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết từng bước.

↓ TẢI FILE PDF

A. Hệ Thống Kiến Thức Cần Nhớ

I. Căn Bậc Hai Và Căn Bậc Hai Số Học

1. Khái niệm nền tảng

• Căn bậc hai: Căn bậc hai của một số thực $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2 = a$.

  • Số thực dương $a$ luôn có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$ và số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

  • Số 0 có duy nhất một căn bậc hai là chính nó, được viết là $\sqrt{0} = 0$.

• Căn bậc hai số học: Với số thực $a \geq 0$, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

  • Hệ thức liên hệ điều kiện:

    $\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 = a \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{a}$

2. Các tính chất căn thức đại số

• Biểu thức $\sqrt{A}$ có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi $A$ nhận giá trị không âm:

  $A \geq 0$

• Hằng đẳng thức căn thức cốt lõi:

  $\sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A & \text{khi } A \geq 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}$

• Với hai biểu thức $A, B$ không âm, ta có các quy tắc khai phương một tích và một thương:

  $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$
  $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad (\text{với } B > 0)$

3. Các phép biến đổi căn thức cơ bản

Để rút gọn biểu thức chứa căn, các em cần làm chủ bộ công thức biến đổi đại số sau:

• Mẹo phân tích hằng đẳng thức chứa căn bổ trợ:

  • $A + B \pm 2\sqrt{AB} = (\sqrt{A} \pm \sqrt{B})^2 \quad (\text{với } A \geq 0; B \geq 0)$

  • $A + B^2 \pm 2B\sqrt{A} = (\sqrt{A} \pm B)^2 \quad (\text{với } A \geq 0)$

II. Căn Bậc Ba

1. Khái niệm

Căn bậc ba của một số thực $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$. Mỗi số thực $a$ bất kỳ đều có duy nhất một căn bậc ba, được ký hiệu là $\sqrt[3]{a}$.

2. Các tính chất toán học

Khác với căn bậc hai, căn bậc ba xác định với mọi số thực $a$ (kể cả số âm) và tuân theo các quy tắc biến đổi sau:

• $\sqrt[3]{A^3} = A$

• $\sqrt[3]{A} \cdot \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{A \cdot B}$

• $\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}} = \sqrt[3]{\frac{A}{B}} \quad (\text{với } B \neq 0)$

B. Phân Loại 5 Dạng Toán Căn Thức Điển Hình Và Phương Pháp Giải

Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức căn thức có nghĩa

• Phương pháp giải: * Biểu thức dạng $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A \geq 0$.

  • Biểu thức dạng $\frac{1}{\sqrt{A}}$ có nghĩa khi $A > 0$.

  • Tiến hành lập và giải bất phương trình bậc nhất hoặc bậc hai để kết luận khoảng chặn của biến $x$.

Ví dụ thực hành: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

• 1) Tính điều kiện của $\sqrt{5 - 2x}$

  Biểu thức có nghĩa khi:

  $5 - 2x \geq 0$

  $5 \geq 2x$

  $x \leq \frac{5}{2}$

  Vậy điều kiện là $x \leq \frac{5}{2}$.

• 2) Tính điều kiện của $\sqrt{3x - 12}$

  Biểu thức có nghĩa khi:

  $3x - 12 \geq 0$

  $3x \geq 12$

  $x \geq 4$

  Vậy điều kiện là $x \geq 4$.

• 3) Tính điều kiện của $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$

  Biểu thức có nghĩa khi phân thức bên trong căn không âm và mẫu số khác 0. Vì tử số là số dương 2, nên biểu thức có nghĩa khi:

  $x^2 > 0$

  $x \neq 0$

  Vậy điều kiện là $x \neq 0$.

• 4) Tính điều kiện của $\sqrt{\frac{-1}{3x - 6}}$

  Biểu thức có nghĩa khi phân thức bên trong căn không âm. Vì tử số là số âm $-1$, nên để phân số không âm thì mẫu số bắt buộc phải nhận giá trị âm:

  $3x - 6 < 0$

  $3x < 6$

  $x < 2$

  Vậy điều kiện là $x < 2$.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bằng hằng đẳng thức

• Phương pháp giải: Sử dụng công thức hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ để phá bỏ dấu căn thức, sau đó đánh giá biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối là dương hay âm để phá ngoặc trị tuyệt đối.

Ví dụ thực hành: Rút gọn các biểu thức sau:

• 1) Rút gọn biểu thức $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$

  Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

  $= |2 - \sqrt{3}|$

  Nhận thấy $2 = \sqrt{4}$. Vì $\sqrt{4} > \sqrt{3}$ nên biểu thức hiệu $(2 - \sqrt{3}) > 0$. Ta phá dấu trị tuyệt đối và giữ nguyên dấu:

  $= 2 - \sqrt{3}$

• 2) Rút gọn biểu thức $\sqrt{(3 - \sqrt{11})^2}$

  Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

  $= |3 - \sqrt{11}|$

  Nhận thấy $3 = \sqrt{9}$. Vì $\sqrt{9} < \sqrt{11}$ nên biểu thức hiệu $(3 - \sqrt{11}) < 0$. Ta phá dấu trị tuyệt đối và thực hiện đổi dấu hạng tử:

  $= \sqrt{11} - 3$

Dạng 3: Thực hiện phép tính số học và rút gọn đại số chứa căn

• Phương pháp giải: Phân tích các số dưới dấu căn thành tích của các số chính phương với số nguyên tố, đưa thừa số ra ngoài căn để tạo các căn thức đồng dạng, hoặc sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để rút gọn phân thức.

Ví dụ thực hành: Rút gọn các biểu thức sau:

• 1) Rút gọn biểu thức $A = 3\sqrt{50} - 5\sqrt{18} + 2\sqrt{72}$

  Ta thực hiện phân tích các số dưới dấu căn:

  $A = 3\sqrt{25 \cdot 2} - 5\sqrt{9 \cdot 2} + 2\sqrt{36 \cdot 2}$

  Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

  $A = 3 \cdot 5\sqrt{2} - 5 \cdot 3\sqrt{2} + 2 \cdot 6\sqrt{2}$

  $A = 15\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$

  $A = 12\sqrt{2}$

  Vậy giá trị biểu thức thu gọn bằng $12\sqrt{2}$.

• 2) Rút gọn biểu thức phân thức $B = \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ với điều kiện $x \geq 0; y \geq 0; x \neq y$.

  Ta thực hiện biến đổi tử số về dạng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

  $B = \frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

  Áp dụng hằng đẳng thức phá triển tử số:

  $B = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot [(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x \cdot y} + (\sqrt{y})^2]}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

  Thực hiện triệt tiêu nhân tử chung $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ ở cả tử và mẫu:

  $B = x + \sqrt{xy} + y$

  Vậy biểu thức thu gọn bằng $x + \sqrt{xy} + y$.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai

• Phương pháp giải: Tùy thuộc vào cấu trúc của phương trình, ta áp dụng các công thức biến đổi chuẩn sau:

  • Dạng $\sqrt{A} = B$ (với $B$ là hằng số dương) $\Leftrightarrow A = B^2$.

  • Dạng $\sqrt{A} = B$ (với $B$ là biểu thức chứa biến) $\Leftrightarrow \begin{cases} B \geq 0 \\ A = B^2 \end{cases}$

  • Dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0 \text{ (hoặc } B \geq 0) \\ A = B^2 \end{cases}$

  • Dạng $\sqrt{A^2} = B \Leftrightarrow |A| = B$.

Ví dụ thực hành: Giải các phương trình sau:

• 1) Giải phương trình $\sqrt{16x} = 8$

  Điều kiện xác định của phương trình: $x \geq 0$.

  Ta đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

  $4\sqrt{x} = 8$

  $\sqrt{x} = 2$

  Bình phương hai vế phương trình:

  $x = 4$

  Đối chiếu điều kiện $x = 4$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{4\}$.

• 2) Giải phương trình $\sqrt{9(x - 1)} = 21$

  Điều kiện xác định của phương trình: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$.

  Ta đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

  $3\sqrt{x - 1} = 21$

  $\sqrt{x - 1} = 7$

  Bình phương hai vế phương trình:

  $x - 1 = 49$

  $x = 50$

  Đối chiếu điều kiện $x = 50$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{50\}$.

Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức toán học chứa căn

• Phương pháp giải: Ta áp dụng quy tắc biến đổi một trong hai vế (thường là vế phức tạp hơn) về vế còn lại bằng các phép biến đổi trục căn, nhân liên hợp hoặc đặt nhân tử chung.

Ví dụ thực hành: Chứng minh các đẳng thức sau:

• 1) Chứng minh đẳng thức $(\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}$

  Ta thực hiện biến đổi biểu thức vế trái (VT) bằng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

  $\text{VT} = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2$

  $\text{VT} = 3 - 2\sqrt{3} + 1$

  $\text{VT} = 4 - 2\sqrt{3} = \text{VP}$ (Bằng vế phải).

  Đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.

• 2) Chứng minh đẳng thức $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - \sqrt{3} = -1$

  Ta thực hiện phân tích biểu thức bên trong dấu căn bậc hai đầu tiên về dạng bình phương:

  $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}$

  $= \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$

  $= |\sqrt{3} - 1|$

  Vì $\sqrt{3} > 1$ nên $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.

  Thay kết quả vừa tìm được vào vế trái (VT) của đẳng thức ban đầu:

  $\text{VT} = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}$

  $\text{VT} = -1 = \text{VP}$ (Bằng vế phải).

  Đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.

C. Hệ Thống Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết

Bài 1: So sánh các giá trị số học

Hãy thực hiện so sánh các cặp số sau đây không dùng máy tính:

• a) 2 và $\sqrt{3}$

• b) 6 và $\sqrt{41}$

• c) 7 và $\sqrt{47}$

Lời giải chi tiết:

• a) Ta đưa số 2 về dạng căn bậc hai số học: $2 = \sqrt{4}$. Vì $4 > 3 \Rightarrow \sqrt{4} > \sqrt{3}$. Kết luận: $2 > \sqrt{3}$.

• b) Ta đưa số 6 về dạng căn bậc hai số học: $6 = \sqrt{36}$. Vì $36 < 41 \Rightarrow \sqrt{36} < \sqrt{41}$. Kết luận: $6 < \sqrt{41}$.

• c) Ta đưa số 7 về dạng căn bậc hai số học: $7 = \sqrt{49}$. Vì $49 > 47 \Rightarrow \sqrt{49} > \sqrt{47}$. Kết luận: $7 > \sqrt{47}$.

Bài 2: Tìm biến số x không âm

Tìm số thực $x$ không âm ($x \geq 0$), biết:

• a) $\sqrt{x} = 15$

• b) $2\sqrt{x} = 14$

• c) $\sqrt{x} < \sqrt{2}$

• d) $\sqrt{2x} < 4$

Lời giải chi tiết:

• a) Do điều kiện bài cho $x \geq 0$, ta thực hiện bình phương hai vế phương trình: $x = 15^2 \Leftrightarrow x = 225$. Vậy $x = 225$.

• b) Thu gọn vế phương trình: $2\sqrt{x} = 14 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 7$. Thực hiện bình phương hai vế: $x = 7^2 \Leftrightarrow x = 49$. Vậy $x = 49$.

• c) Do điều kiện $x \geq 0$, ta thực hiện bình phương hai vế của bất phương trình: $x < 2$. Kết hợp điều kiện ta được kết quả: $0 \leq x < 2$.

• d) Thực hiện bình phương hai vế của bất phương trình: $2x < 4^2 \Leftrightarrow 2x < 16 \Leftrightarrow x < 8$. Kết hợp điều kiện ta được kết quả: $0 \leq x < 8$.

Bài 3: Xác định điều kiện của tham số để căn thức có nghĩa

Với giá trị nào của biến $a$ thì mỗi biểu thức căn thức sau đây xác định:

• a) $\sqrt{\frac{a}{3}}$

• b) $\sqrt{-5a}$

• c) $\sqrt{4 - a}$

• d) $\sqrt{3a + 7}$

Lời giải chi tiết:

• a) Biểu thức xác định khi và chỉ khi: $\frac{a}{3} \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$.

• b) Biểu thức xác định khi và chỉ khi: $-5a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$ (do chia cho số âm đổi chiều).

• c) Biểu thức xác định khi và chỉ khi: $4 - a \geq 0 \Leftrightarrow -a \geq -4 \Leftrightarrow a \leq 4$.

• d) Biểu thức xác định khi và chỉ khi: $3a + 7 \geq 0 \Leftrightarrow 3a \geq -7 \Leftrightarrow a \geq -\frac{7}{3}$.

Bài 4: Tính giá trị căn số học thập phân

Thực hiện tính giá trị của các phép tính sau:

• a) $\sqrt{(0,1)^2}$

• b) $\sqrt{(-0,3)^2}$

• c) $-\sqrt{(-1,3)^2}$

• d) $-0,4\sqrt{(-0,4)^2}$

Lời giải chi tiết:

• a) $\sqrt{(0,1)^2} = |0,1| = 0,1$

• b) $\sqrt{(-0,3)^2} = |-0,3| = 0,3$

• c) $-\sqrt{(-1,3)^2} = -|-1,3| = -1,3$

• d) $-0,4\sqrt{(-0,4)^2} = -0,4 \cdot |-0,4| = -0,4 \cdot 0,4 = -0,16$

Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa căn số và chữ

Thực hiện rút gọn biểu thức:

• a) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$

• b) $\sqrt{(3 - \sqrt{11})^2}$

• c) $2\sqrt{a^2}$ với điều kiện $a \geq 0$.

• d) $3\sqrt{(a - 2)^2}$ với điều kiện $a < 2$.

Lời giải chi tiết:

• a) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ (do $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$).

• b) $\sqrt{(3 - \sqrt{11})^2} = |3 - \sqrt{11}| = \sqrt{11} - 3$ (do $3 = \sqrt{9} < \sqrt{11}$).

• c) $2\sqrt{a^2} = 2 \cdot |a|$. Vì đề bài cho điều kiện $a \geq 0$ nên $2|a| = 2a$.

• d) $3\sqrt{(a - 2)^2} = 3 \cdot |a - 2|$. Vì đề bài cho điều kiện $a < 2 \Rightarrow a - 2 < 0$, nên ta đổi dấu khi phá trị tuyệt đối: $3(2 - a) = 6 - 3a$.

Bài 6: Tìm số thực x thỏa mãn đẳng thức chứa bình phương

Hãy tìm giá trị của $x$, biết:

• a) $\sqrt{x^2} = 7$

• b) $\sqrt{x^2} = |-8|$

• c) $\sqrt{4x^2} = 6$

• d) $\sqrt{9x^2} = |-12|$

Lời giải chi tiết:

• a) $\sqrt{x^2} = 7 \Leftrightarrow |x| = 7 \Leftrightarrow x = 7$ hoặc $x = -7$.

• b) Thu gọn vế phải: $\sqrt{x^2} = 8 \Leftrightarrow |x| = 8 \Leftrightarrow x = 8$ hoặc $x = -8$.

• c) Biến đổi biểu thức: $\sqrt{(2x)^2} = 6 \Leftrightarrow |2x| = 6 \Leftrightarrow |x| = 3 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -3$.

• d) Biến đổi biểu thức và thu gọn vế phải: $\sqrt{(3x)^2} = 12 \Leftrightarrow |3x| = 12 \Leftrightarrow |x| = 4 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -4$.

Bài 7: Chứng minh hệ thức số học căn thức

Chứng minh các đẳng thức hình học đại số sau:

• a) $(\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}$

• b) $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - \sqrt{3} = -1$

Lời giải chi tiết:

(Phần nội dung này đã được hướng dẫn chi tiết từng bước bằng phương pháp biến đổi vế trái tại mục Dạng 5 ở trên).

Bài 8: Phân tích biểu thức đa thức thành nhân tử

Hãy sử dụng căn thức để phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

• a) $x^2 - 3$

• b) $x^2 - 6$

• c) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3$

• d) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5$

Lời giải chi tiết:

• a) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.

• b) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^2 - 6 = x^2 - (\sqrt{6})^2 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.

• c) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = x^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot x + (\sqrt{3})^2 = (x + \sqrt{3})^2$.

• d) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = x^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot x + (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})^2$.

Bài 9: Khai căn bậc ba số học

Hãy tìm giá trị của các biểu thức căn bậc ba sau: $\sqrt[3]{512}$; \ $\sqrt[3]{-729}$; \ $\sqrt[3]{0,064}$; \ $\sqrt[3]{-0,216}$; \ $\sqrt[3]{-0,008}$.

Lời giải chi tiết:

• $\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{8^3} = 8$

• $\sqrt[3]{-729} = \sqrt[3]{(-9)^3} = -9$

• $\sqrt[3]{0,064} = \sqrt[3]{(0,4)^3} = 0,4$

• $\sqrt[3]{-0,216} = \sqrt[3]{(-0,6)^3} = -0,6$

• $\sqrt[3]{-0,008} = \sqrt[3]{(-0,2)^3} = -0,2$

Mẹo ghi nhớ từ Hay Học Hỏi: Để tính nhanh các bài toán chứa căn bậc ba không dùng máy tính, các em nên ghi nhớ lũy thừa bậc ba của các số tự nhiên nhỏ hơn 10 sau đây: $2^3 = 8$; \ $3^3 = 27$; \ $4^3 = 64$; \ $5^3 = 125$; \ $6^3 = 216$; \ $7^3 = 343$; \ $8^3 = 512$; \ $9^3 = 729$.

Bài 10: Thực hiện phép tính chứa căn bậc ba

Xử lý các biểu thức số học sau:

• a) $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-8} - \sqrt[3]{125}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}} - \sqrt[3]{54} \cdot \sqrt[3]{4}$

Lời giải chi tiết:

• a) Ta đưa về các số mũ bậc ba để khai căn:

  $= \sqrt[3]{3^3} - \sqrt[3]{(-2)^3} - \sqrt[3]{5^3}$

  $= 3 - (-2) - 5$

  $= 3 + 2 - 5 = 0$

• b) Áp dụng quy tắc chia và nhân hai căn thức bậc ba:

  $= \sqrt[3]{\frac{135}{5}} - \sqrt[3]{54 \cdot 4}$

  $= \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{216}$

  $= \sqrt[3]{3^3} - \sqrt[3]{6^3}$

  $= 3 - 6 = -3$

Bài 11: So sánh căn thức bậc ba

Hãy thực hiện so sánh các cặp số sau:

• a) 5 và $\sqrt[3]{123}$

• b) $5\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{5}$

Lời giải chi tiết:

• a) Ta đưa số 5 vào trong căn bậc ba: $5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}$. Vì $125 > 123 \Rightarrow \sqrt[3]{125} > \sqrt[3]{123}$. Kết luận: $5 > \sqrt[3]{123}$.

• b) Ta thực hiện đưa các thừa số vào bên trong dấu căn bậc ba để so sánh phần lõi số học:

  $5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 6} = \sqrt[3]{125 \cdot 6} = \sqrt[3]{750}$

  $6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{216 \cdot 5} = \sqrt[3]{1080}$

  Vì $750 < 1080 \Rightarrow \sqrt[3]{750} < \sqrt[3]{1080}$. Kết luận: $5\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{5}$.

D. Kho Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao (Có Hướng Dẫn)

Nhằm giúp các em học sinh tự rèn luyện kỹ năng biến đổi, dưới đây là phần đề bài bổ sung kèm theo đáp án lời giải chi tiết cho bộ ngân hàng đề tự luận:

Bài tập 1: Tìm điều kiện xác định cơ bản

Xác định khoảng giá trị của $x$ để các căn thức sau có nghĩa:

• a) $\sqrt{-3x} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 0$.

• b) $\sqrt{4 - 2x} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $4 - 2x \geq 0 \Leftrightarrow 4 \geq 2x \Leftrightarrow x \leq 2$.

• c) $\sqrt{-3x + 3} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $-3x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow 3 \geq 3x \Leftrightarrow x \leq 1$.

• d) $\sqrt{6x - 2} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $6x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow 6x \geq 2 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$.

Bài tập 2: Tìm điều kiện xác định dạng phân thức chặn

Xác định khoảng giá trị của $x$ để các biểu thức sau xác định:

• a) $\sqrt{\frac{1}{3 - 2x}} \Rightarrow$ Tử số là số dương 1. Biểu thức xác định khi mẫu số mang dấu dương: $3 - 2x > 0 \Leftrightarrow 3 > 2x \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

• b) $\sqrt{\frac{2}{2x + 5}} \Rightarrow$ Biểu thức xác định khi mẫu số mang dấu dương: $2x + 5 > 0 \Leftrightarrow 2x > -5 \Leftrightarrow x > -\frac{5}{2}$.

• c) $\sqrt{\frac{-3}{x + 2}} \Rightarrow$ Tử số là số âm $-3$. Biểu thức xác định khi mẫu số mang dấu âm để phân số dương: $x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -2$.

Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định đa thức phức tạp

• a) $\sqrt{9x^2 - 6x + 1} \Rightarrow$ Ta thu gọn lõi căn thành hằng đẳng thức: $\sqrt{(3x - 1)^2}$. Vì bình phương của một biểu thức luôn không âm với mọi số thực $x$, nên biểu thức này luôn có nghĩa với mọi $x \in \mathbb{R}$.

• b) $\sqrt{-x^2 + 2x - 1} \Rightarrow$ Thu gọn biểu thức: $\sqrt{-(x^2 - 2x + 1)} = \sqrt{-(x - 1)^2}$. Để biểu thức có nghĩa thì $-(x - 1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 \leq 0$. Điều này chỉ xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

• c) $\sqrt{-|x - 3|} \Rightarrow$ Để căn thức có nghĩa thì $-|x - 3| \geq 0 \Leftrightarrow |x - 3| \leq 0$. Điều này chỉ xảy ra khi $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

• d) $\sqrt{9 - x^2} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $9 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 9 \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 3$.

• e) $\sqrt{x^2 - 2x - 3} \Rightarrow$ Phân tích đa thức thành nhân tử: $\sqrt{(x + 1)(x - 3)}$. Biểu thức có nghĩa khi hai thừa số cùng dấu hoặc bằng 0: $x \geq 3$ hoặc $x \leq -1$.

• f) $\sqrt{|x - 2| - 3} \Rightarrow$ Biểu thức có nghĩa khi $|x - 2| - 3 \geq 0 \Leftrightarrow |x - 2| \geq 3$. Điều này dẫn đến hai khoảng chặn: $x - 2 \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 5$ hoặc $x - 2 \leq -3 \Leftrightarrow x \leq -1$.

• g) $\frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}} \Rightarrow$ Điều kiện trong căn nhỏ là $x \geq 1$. Ta biến đổi mẫu số: $\sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} = |\sqrt{x - 1} + 1|$. Biểu thức này luôn dương với mọi $x \geq 1$. Vậy điều kiện xác định là $x \geq 1$.

• h) $\frac{-1}{\sqrt{9 - 12x + 4x^2}} \Rightarrow$ Thu gọn mẫu số thành $\sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|$. Để phân thức tồn tại thì mẫu số phải khác 0: $3x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{2}{3}$.

Bài tập 4: Thực hiện phép tính số học chứa căn liên hợp

• a) $\sqrt{(2\sqrt{2} - 3)^2} = |2\sqrt{2} - 3|$. Vì $2\sqrt{2} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$, nên kết quả thu gọn bằng $3 - 2\sqrt{2}$.

• b) $\sqrt{(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = |\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}|$. Vì $\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{4}} < \frac{1}{\sqrt{2}}$, nên kết quả thu gọn bằng $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$.

• c) $\sqrt{(5 - 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} = |5 - 2\sqrt{6}| - |5 + 2\sqrt{6}|$. Vì $5 = \sqrt{25} > \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$, ta giữ nguyên dấu ngoặc thứ nhất: $(5 - 2\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = -4\sqrt{6}$.

• d) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{22 - 12\sqrt{2}}$ $= \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3\sqrt{2} - 2)^2} = |2 - \sqrt{2}| + |3\sqrt{2} - 2|$ $= 2 - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2}$.

Bài tập 5: Rút gọn biểu thức đại số chứa khoảng biến số

• a) $x + 3 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ với $x \leq 3 \Rightarrow x + 3 + \sqrt{(x - 3)^2} = x + 3 + |x - 3|$. Vì $x \leq 3 \Rightarrow x - 3 \leq 0$, ta đổi dấu hạng tử: $x + 3 + (3 - x) = 6$.

• b) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2}$ với $-2 \leq x \leq 0 \Rightarrow \sqrt{(x + 2)^2} - |x| = |x + 2| - |x|$. Trong khoảng chặn đã cho, ta có $x + 2 \geq 0$ và $x \leq 0$. Phá dấu trị tuyệt đối ta được: $x + 2 - (-x) = 2x + 2$.

• c) $\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$ với $x > 1 \Rightarrow \frac{\sqrt{(x - 1)^2}}{x - 1} = \frac{|x - 1|}{x - 1}$. Vì $x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0$, ta thu gọn phân thức: $\frac{x - 1}{x - 1} = 1$.

• d) $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2}$ với $x < 2 \Rightarrow |x - 2| + \frac{|x - 2|}{x - 2}$. Vì $x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$, ta phá ngoặc đổi dấu: $(2 - x) + \frac{-(x - 2)}{x - 2} = 2 - x - 1 = 1 - x$.

Bài tập 6: Giải phương trình hệ thống tổng hợp

• a) $\sqrt{(x - 3)^2} = 3 - x$ suy ra |x - 3| = 3 - x$. Đẳng thức xảy ra khi biểu thức trong trị tuyệt đối không dương: $x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 3$.

• b) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} = 2$ suy ra $\sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} = 2$ suy ra $|\sqrt{x - 1} + 1| = 2$. Vì biểu thức chứa căn luôn dương nên $\sqrt{x - 1} + 1 = 2$ nên $\sqrt{x - 1} = 1$ hay $x - 1 = 1$ suy ra $x = 2$.

• c) $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1} - 1$ suy ra $\sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = \sqrt{x - 1} - 1$ suy ra $|\sqrt{x - 1} - 1| = \sqrt{x - 1} - 1$. Điều này xảy ra khi vế phải không âm: $\sqrt{x - 1} - 1 \geq 0$ hay $\sqrt{x - 1} \geq 1$ nên có $x - 1 \geq 1$ hay $x \geq 2$.

• d) $\sqrt{2x^2 - 3} = \sqrt{4x - 3} \Leftrightarrow \begin{cases} 4x - 3 \geq 0 \\ 2x^2 - 3 = 4x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{3}{4} \\ 2x^2 - 4x = 0 \end{cases}$. Phương trình vế dưới có nghiệm $x = 0$ (loại) hoặc $x = 2$ (thỏa mãn). Vậy $x = 2$.

• e) $\sqrt{x^2 - x} = \sqrt{3x - 5} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3} \\ x^2 - x = 3x - 5 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 5 = 0 \end{cases}$. Vì phương trình bậc hai vế sau có biệt thức $\Delta' = (-2)^2 - 1 \cdot 5 = -1 < 0$ (vô nghiệm). Vậy phương trình vô nghiệm.

• f) $\sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt{(x^2 - 1)^2} = x - 1 \Leftrightarrow |x^2 - 1| = x - 1$. Điều kiện vế phải là $x \geq 1$. Khi $x \geq 1 \Rightarrow x^2 - 1 \geq 0$, phương trình tương đương: $x^2 - 1 = x - 1 \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (loại) hoặc $x = 1$ (thỏa mãn). Vậy $x = 1$.

• g) $|3x + 1| = |x + 1|$. Ta chia làm hai trường hợp đại số:

  Trường hợp 1: $3x + 1 = x + 1 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

  Trường hợp 2: $3x + 1 = -(x + 1) \Leftrightarrow 4x = -2 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$.

  Vậy nghiệm phương trình là $x = 0$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$.

• h) $|x^2 - 3| = |x - \sqrt{3}| \Leftrightarrow |(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})| = |x - \sqrt{3}|$.

  Trường hợp 1: $x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{3}$.

  Trường hợp 2: Khi $x \neq \sqrt{3}$, ta chia cả hai vế cho $|x - \sqrt{3}|$, phương trình trở thành: $|x + \sqrt{3}| = 1 \Leftrightarrow x + \sqrt{3} = 1 \Rightarrow x = 1 - \sqrt{3}$ hoặc $x + \sqrt{3} = -1 \Rightarrow x = -1 - \sqrt{3}$.

  Vậy phương trình có ba nghiệm là $x = \sqrt{3}; x = 1-\sqrt{3}; x = -1-\sqrt{3}$.

• i) $|x^2 - 1| + |x + 1| = 0$. Vì giá trị tuyệt đối luôn không âm, tổng của hai trị tuyệt đối bằng 0 khi và chỉ khi cả hai biểu thức đồng thời bằng 0:

  $\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \\ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \end{cases}$. Giá trị chung thỏa mãn hệ phương trình là $x = -1$.

• k) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{(x + 2)^2} = 0$. Hoàn toàn tương tự, tổng hai căn thức không âm bằng 0 khi:

  $\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \\ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \end{cases}$. Giá trị chung thỏa mãn hệ phương trình là $x = -2$.

E. Tổng Kết Kiến Thức Cốt Lõi

Để thực hiện tốt chuyên đề Số học căn thức lớp 9 này, các em học sinh cần ghi nhớ nằm lòng 4 điểm mấu chốt sau:

• Luôn thiết lập điều kiện xác định cho căn thức bậc hai trước khi thực hiện tính toán.

• Sử dụng thành thạo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ để phá căn một cách an toàn, tránh sai dấu.

• Linh hoạt áp dụng công thức đưa thừa số ra ngoài/vào trong căn để tạo các căn thức đồng dạng nhằm rút gọn biểu thức.

• Nắm chắc các quy tắc khoảng chặn số học để giải các phương trình chứa căn thức.