Bài 5.7 Toán 9 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 5.7 - SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức:

Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính đường tròn (O), biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng 100^o (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phân tích và Hướng dẫn giải

1. Phân tích giả thiết

• Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$: Chính là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $O$ đến $AB$. Gọi đây là đoạn $OH$, với $OH = 3\ cm$.

• Số đo cung nhỏ $AB$ bằng $100^\circ$: Theo định nghĩa, số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Vậy $\widehat{AOB} = 100^\circ$.

• Mục tiêu: Tính bán kính $R = OA = OB$.

2. Phương pháp giải

• Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung để xác định $H$ là trung điểm của $AB$ và $OH$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

• Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông $OAH$ để tính cạnh huyền $OA$.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.7 SGK Toán 9 Tập 1:

Ta có hình:

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat{AOB}=100^o$

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$  (hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}$

Nên $2\widehat{HOA}=\widehat{AOB}=100^o$ hay $\widehat{HOA}=50^o$

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $cos\widehat{HOA}=\frac{OH}{OA}$

Suy ra $OA=\frac{OH}{cos\widehat{HOA}}$ $=\frac{3}{cos50^o}\approx4,7(cm)$

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.