Bài 5.22 Toán 9 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 5.22 - SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của dường tròn (P; PA).

Phân tích và Hướng dẫn giải

1. Phân tích giả thiết

• Góc $xOy$ có $Ot$ là phân giác: $\widehat{xOt} = \widehat{yOt}$.

• $OA = OB$: Tam giác $OAB$ cân tại $O$.

• $PA \perp Ox$ tại $A$: $A$ thuộc đường tròn $(P)$ và $OA$ vuông góc với bán kính $PA$. Đây là điều kiện đủ để $OA$ là tiếp tuyến.

• Mục tiêu: Chứng minh $PB \perp Oy$ tại $B$ và $PB = PA$ để khẳng định $OB$ cũng là tiếp tuyến của $(P; PA)$.

2. Phương pháp chứng minh

Để chứng minh $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(P; PA)$, ta cần chứng minh:

1. $PA = PB$ (Để $B$ cũng nằm trên đường tròn tâm $P$).

2. $PB \perp Oy$ tại $B$ (Để $OB$ là tiếp tuyến).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.22 SGK Toán 9 Tập 1:

Ta có hình sau:

Xét ΔOAM và ΔOBM có:

OM chung

 (do OM là tia phân giác của góc  )

OA = OB

Do đó ΔOAM = ΔOBM (c.g.c).

Suy ra AM = BM (hai cạnh tương ứng).

Và   (hai góc tương ứng) hay OB ⊥ MB.

Do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (M; MA).

Vậy OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O).