Bài 5.15 Toán 9 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 5.15 - SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng:

a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K

b) KH < BC

Phân tích và Hướng dẫn giải

1. Phân tích giả thiết

• $H$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AC \Rightarrow \triangle BHC$ vuông tại $H$.

• $K$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống $AB \Rightarrow \triangle BKC$ vuông tại $K$.

• Mục tiêu là chứng minh các đỉnh $H, K$ cùng cách đều trung điểm của $BC$.

2. Phương pháp chứng minh

• Câu a: Sử dụng tính chất: "Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền".

• Câu b: Sử dụng tính chất: "Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất".

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.15 SGK Toán 9 Tập 1:

Ta có hình sau:

a) Gọi trung điểm của BC là O.

Tam giác vuông BKC có KO là đường trung tuyến KO ứng với cạnh huyền BC nên

KO = OB = OC hay B, K, C thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.          (1)

Tam giác BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

HO = BO = OB hay B, H, C thuộc được đường tròn tâm O đường kính BC.   (2)

Từ (1) và (2) ta có K, H thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.

Vậy đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K.

b) Đường tròn tâm O có BC là đường kính và KH là dây không qua tâm O.

Do đó KH < BC.