Bài 3.30 trang 64 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước để giúp các em hiểu rõ bài toán thực tế này.

I. Đề bài tập 3.30 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 64)

Giả sử lực$F$của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là$30$. Trong đó, lực$F$được tính bằng$\text{N}$ (Newton) và tốc độ $v$ được tính bằng $\text{m/s}$.

• a) Khi tốc độ của gió là $10\text{ m/s}$ thì lực $F$ là bao nhiêu Newton?

• b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là $12\:000\text{ N}$ thì con thuyền có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

II. Phương pháp giải và thiết lập công thức toán học

Để giải quyết bài toán, trước hết chúng ta cần chuyển đổi dữ kiện ngôn ngữ văn bản sang biểu thức toán học:

• Theo quy tắc tỉ lệ thuận, lực $F$ tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ gió $v^2$ thông qua hệ số tỉ lệ $k = 30$.

• Ta thiết lập được công thức tổng quát của hàm số mô tả lực gió là:

  $$F = 30v^2 \quad (*)$$

• Kỹ thuật tính toán áp dụng:

  • Ở câu a: Thay trực tiếp giá trị của biến số $v$ vào hàm số $(*)$ để tính đại lượng $F$.

  • Ở câu b: Thiết lập bất phương trình đại số dựa trên điều kiện chặn trên của áp lực tối đa: $F \le 12\:000$. Tiến hành rút gọn và áp dụng định lý căn bậc hai số học để tìm khoảng chặn của vận tốc $v$ (Lưu ý điều kiện thực tế vận tốc $v \ge 0$).

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.30

Câu a) Tính lực $F$ khi tốc độ của gió là $10\text{ m/s}$

• Lập luận: Khi tốc độ của gió đạt $10\text{ m/s}$, tương ứng với giá trị biến số $v = 10$.

• Tiến hành thay giá trị $v = 10$ vào biểu thức hàm số $(*)$, ta thu được giá trị của lực áp suất $F$ như sau:

  $$F = 30 \cdot 10^2$$
  $$F = 30 \cdot 100 = 3\:000\text{ N}$$

Kết luận câu a: Khi tốc độ của gió là $10\text{ m/s}$ thì lực $F$ tác dụng lên cánh buồm bằng $3\:000\text{ Newton}$.

Câu b) Tìm tốc độ gió tối đa khi áp lực giới hạn là $12\:000\text{ N}$

• Lập luận: Vì cánh buồm của con thuyền chỉ có khả năng chịu đựng một áp lực tối đa là $12\:000\text{ N}$, nghĩa là lực gió thực tế tác dụng vào buồm không được phép vượt quá ngưỡng giới hạn này.

• Từ đó, ta thiết lập được hệ thức bất phương trình đại số sau:

  $$F \le 12\:000$$

• Thay biểu thức hàm số $F = 30v^2$ vào bất phương trình, ta thực hiện các bước biến đổi tương đương:

  $$30v^2 \le 12\:000$$
  $$v^2 \le \frac{12\:000}{30}$$
  $$v^2 \le 400$$

• Do tốc độ gió $v$ trong thực tế luôn luôn là một đại lượng hình học mang giá trị không âm ($v \ge 0$), ta tiến hành khai căn bậc hai số học hai vế của bất phương trình:

  $$\sqrt{v^2} \le \sqrt{400}$$
  $$v \le 20\text{ m/s}$$

• Như vậy, giá trị lớn nhất mà vận tốc gió có thể đạt được để đảm bảo an toàn kết cấu cho cánh buồm chính là mốc biên $v = 20\text{ m/s}$.

Kết luận câu b: Nếu cánh buồm chỉ chịu được áp lực tối đa là $12\:000\text{ N}$ thì con thuyền có thể di chuyển an toàn trong gió với tốc độ gió tối đa là $20\text{ m/s}$.

IV. Mẹo giải toán thực tế nhanh

Để giúp các em học sinh tạo phản nhận dạng nhanh và hiểu sâu sắc vấn đề chuyển đổi mô hình thực tế, chúng ta hãy ghi nhớ bản chất sau:

• Sự nguy hiểm của hàm bậc hai: Rất nhiều học sinh có thói quen tư duy tỉ lệ thuận bậc nhất (ví dụ nghĩ rằng vận tốc gió tăng gấp đôi thì lực tăng gấp đôi).

• Bản chất khoa học: Nhưng biểu thức $F = 30v^2$ chỉ ra đây là hàm số bậc hai. Khi tốc độ gió tăng lên gấp 2 lần (từ $10\text{ m/s}$ lên $20\text{ m/s}$), lực tác dụng tác động lên buồm không phải tăng gấp đôi mà sẽ bị khuếch đại lên gấp bình phương lần, tức là tăng tận $2^2 = 4$ lần (từ $3\:000\text{ N}$ vọt thẳng lên $12\:000\text{ N}$).

• Mẹo nhẩm nhanh câu b: Khi đề bài cho lực tối đa $F$ và bắt tìm vận tốc tối đa $v$, các em chỉ cần lấy lực chia cho hệ số rồi bấm căn bậc hai của kết quả đó là ra ngay đáp án đúng trong vòng 2 giây:

  $$v_{\max} = \sqrt{\frac{F_{\max}}{k}} = \sqrt{\frac{12\:000}{30}} = \sqrt{400} = 20\text{ m/s}$$

V. Kết luận

Bài tập 3.30 trang 64 là một câu hỏi thực tiễn, bài toán giúp các em học sinh nhận thức được giá trị to lớn của toán học trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật đo lường và định vị an toàn trong đời sống như lướt ván và hàng hải thực tế.