Bài 3.28 trang 64 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước bằng các phương pháp tối ưu nhất, giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 3.28 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 64)

Rút gọn các biểu thức sau:

• a) $A = \frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2}$

• b) $B = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$

• c) $C = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$

• d) $D = \frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-1}{\sqrt{50}}$

II. Phương pháp giải và hằng đẳng cần nhớ

Để giải quyết nhanh gọn bài toán này, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần làm chủ 4 kỹ thuật biến đổi căn thức cốt lõi sau đây:

1. Hằng đẳng thức căn bậc hai: $\sqrt{A^2} = |A|$. Nếu $A \ge 0$ thì $|A| = A$; nếu $A < 0$ then $|A| = -A$.

2. Hằng đẳng thức căn bậc ba: $\sqrt[3]{A^3} = A$ (Áp dụng cho mọi số thực $A$, không cần xét dấu).

3. Trục căn thức ở mẫu: * Dạng nhân tử chung: $\frac{A}{\sqrt{A}} = \sqrt{A}$ (với $A > 0$).

   • Dạng lượng liên hợp: $\frac{1}{\sqrt{A}-B} = \frac{\sqrt{A}+B}{A - B^2}$.

4. Khai phương một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$ và $\sqrt{A^2 \cdot B} = |A|\sqrt{B}$.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.28

Câu a) Rút gọn biểu thức $A = \frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2}$

• Phân tích toán học: Ở phân thức đầu tiên, chúng ta nhận thấy trên tử số có nhân tử chung là $\sqrt{5}$ (vì $5 = (\sqrt{5})^2$). Do đó phương pháp tối ưu là đặt nhân tử chung để rút gọn, tránh quy đồng làm phức tạp biểu thức. Ở phân thức thứ hai, chúng ta nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu là $(\sqrt{5}+2)$.

• Lời giải chi tiết:

  $$A = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+3)}{\sqrt{5}} - \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$$
  $$A = (\sqrt{5}+3) - \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$$
  $$A = \sqrt{5}+3 - \frac{\sqrt{5}+2}{5 - 4}$$
  $$A = \sqrt{5}+3 - (\sqrt{5}+2)$$
  $$A = \sqrt{5}+3 - \sqrt{5}-2$$
  $$A = 1$$

Câu b) Rút gọn biểu thức $B = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$

• Phân tích toán học: Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ cho hạng tử thứ nhất và lưu ý so sánh độ lớn để phá dấu giá trị tuyệt đối. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn đối với $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7}$. Chia hai căn bậc hai đối với hạng tử cuối cùng.

• Lời giải chi tiết:

  $$B = |\sqrt{7}-2| - \sqrt{9 \cdot 7} + \sqrt{\frac{56}{2}}$$

  Vì $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{7} - 2 > 0 \Rightarrow |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.

  Do đó biểu thức trở thành:

  $$B = \sqrt{7}-2 - 3\sqrt{7} + \sqrt{28}$$
  $$B = \sqrt{7}-2 - 3\sqrt{7} + \sqrt{4 \cdot 7}$$
  $$B = \sqrt{7}-2 - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7}$$
  $$B = (\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - 2$$
  $$B = 0 - 2 = -2$$

Câu c) Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$

• Phân tích toán học: Khai triển hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ trên tử số. Ở mẫu số, thực hiện biến đổi $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ để thu gọn mẫu.

• Lời giải chi tiết:

  $$C = \frac{|\sqrt{3}+\sqrt{2}| + |\sqrt{3}-\sqrt{2}|}{2 \cdot \sqrt{4 \cdot 3}}$$

  • Vì $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 0$ nên $|\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

  • Vì $\sqrt{3} > \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$ nên $|\sqrt{3}-\sqrt{2}| = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.

    Thay vào biểu thức ta có:

    $$C = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2 \cdot 2\sqrt{3}}$$
    $$C = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$$
    $$C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Câu d) Rút gọn biểu thức $D = \frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-1}{\sqrt{50}}$

• Phân tích toán học: Trên tử số, áp dụng hằng đẳng thức căn bậc ba $\sqrt[3]{A^3} = A$ để phá bỏ căn bậc ba trực tiếp. Dưới mẫu số, thực hiện đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

• Lời giải chi tiết:

  $$D = \frac{(\sqrt{2}+1)-1}{\sqrt{25 \cdot 2}}$$
  $$D = \frac{\sqrt{2}+1-1}{5\sqrt{2}}$$
  $$D = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{5}$$

IV. Mẹo kiểm tra đáp số bằng máy tính Casio

Để đảm bảo đạt điểm số tuyệt đối trong phòng thi và không bị sai sót dấu hoặc nhầm lẫn số học, các em học sinh hãy áp dụng mẹo sử dụng máy tính Casio Fx-580VN X để kiểm tra lại bài rút gọn theo phương pháp Hiệu số triệt tiêu sau:

• Bước 1: Nhập nguyên biểu thức đề bài yêu cầu rút gọn vào máy tính (Ví dụ với câu a, nhập dòng biểu thức $\frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2}$).

• Bước 2: Lấy biểu thức vừa nhập trừ đi kết quả các em vừa tính toán được ngoài nháp (Ví dụ câu a ra kết quả bằng $1$, các em bấm thêm dấu trừ và số $1$: $- 1$).

• Bước 3: Bấm phím = trên máy tính.

  • Nếu màn hình hiển thị kết quả bằng $0$, điều đó chứng tỏ biểu thức phức tạp của đề bài và con số rút gọn của các em hoàn toàn đồng nhất. Các em có thể tự tin 100% bước sang câu tiếp theo.

  • Nếu kết quả ra một số khác $0$, các em cần rà soát lại ngay các bước phá ngoặc hoặc đổi dấu lượng liên hợp của mình nhé!

V. Kết luận

Bài tập 3.28 trang 64 là một bài tập vô cùng chất lượng. Bài toán đã giúp hệ thống toàn bộ các kỹ năng xử lý căn thức nền tảng nhất của lớp 9. Việc làm chủ phương pháp đặt nhân tử chung, nhận diện lượng liên hợp và thành thạo phá dấu giá trị tuyệt đối sẽ giúp các em học sinh xây dựng được một nền tảng đại số vững chắc, sẵn sàng chinh phục các chuyên đề biến đổi phân thức nâng cao trong chặng đường sắp tới.