Bài 4.3 trang 73 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước giúp các em học sinh nắm trọn kiến thức nền tảng.

I. Đề bài tập 4.3 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 73)

Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^\circ$ và cạnh đối với góc này bằng $5\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

II. Phương pháp giải và kiến thức cần nhớ

Để xác định được độ dài cạnh huyền của tam giác vuông khi đề bài đã cung cấp số đo của một góc nhọn và một cạnh đối diện, chúng ta cần bám sát định nghĩa lượng giác sau:

• Định nghĩa tỉ số lượng giác Sin ($\sin$):

  Trong một tam giác vuông, tỉ số lượng giác sin của một góc nhọn được tính bằng thương số giữa độ dài cạnh đối diện và độ dài cạnh huyền của tam giác đó.

  $$\sin = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}$$

• Mẹo ghi nhớ dân gian: "Sin: đi học (đối trên huyền)". Từ hệ thức nền tảng này, khi muốn tìm độ dài cạnh huyền, chúng ta thực hiện phép toán biến đổi đại số, lấy độ dài cạnh đối diện chia cho giá trị sin của góc nhọn tương ứng:

  $$\text{Cạnh huyền} = \frac{\text{Cạnh đối}}{\sin(\text{Góc nhọn})}$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.3

Ta có hình vẽ như sau:

• Bước 1:Từ hình vẽ xét tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$ có:

  • Góc nhọn đã biết số đo: $\widehat{B} = 30^\circ$

  • Cạnh đối diện với góc $\widehat{B}$ là cạnh $AC = 5\text{ cm}$.

  • Cạnh huyền của tam giác vuông là cạnh $BC$ (đây là đại lượng cần tìm độ dài).

• Bước 2: Áp dụng công thức tỉ số lượng giác

  Dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác sin đối với góc nhọn $\widehat{B}$ trong tam giác vuông $ABC$, ta thiết lập được hệ thức:

  $$\sin B = \frac{AC}{BC}$$

• Bước 3: Biến đổi đại số và tính toán kết quả

  Từ hệ thức trên, ta thực hiện quy tắc nhân chéo chia ngang để cô lập đại lượng cạnh huyền $BC$:

  $$BC = \frac{AC}{\sin B}$$

  Tiến hành thế các giá trị định lượng $AC = 5\text{ cm}$ và số đo góc $\widehat{B} = 30^\circ$ vào biểu thức:

  $$BC = \frac{5}{\sin 30^\circ}$$

  Tra bảng lượng giác hoặc sử dụng máy tính bỏ túi, ta biết giá trị lượng giác đặc biệt của $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Thay số vào hệ thức ta được:

  $$BC = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \times 2 = 10\text{ cm}$$

Kết luận cuối cùng: Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đã cho bằng $10\text{ cm}$.

IV. Mẹo giải toán trắc nghiệm nhanh

Bên cạnh phương pháp giải tổng quát bằng hệ thức lượng giác ở trên, Hay Học Hỏi chia sẻ thêm một định lý hình học phẳng cực kỳ đặc biệt liên quan đến góc $30^\circ$ để các em học sinh nhẩm nhanh đáp số khi làm bài thi trắc nghiệm:

Định lý nửa tam giác đều:

Trong một tam giác vuông, nếu có một góc nhọn bằng $30^\circ$ thì độ dài cạnh đối diện với góc nhọn đó luôn luôn bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

$$\text{Cạnh đối } (30^\circ) = \frac{1}{2} \times \text{Cạnh huyền}$$

• Mẹo nhẩm nhanh: Dựa vào định lý này, khi đọc đề bài thấy tam giác vuông có góc $30^\circ$ và cho biết cạnh đối diện bằng $5\text{ cm}$, các em chỉ cần thực hiện phép nhân nhân đôi giá trị cạnh đối diện ngay trong đầu:

  $$\text{Cạnh huyền} = 2 \times \text{Cạnh đối} = 2 \times 5 = 10\text{ cm}$$

  Mẹo tư duy trực quan này giúp các em chốt đáp án trắc nghiệm chính xác 100% chỉ trong vòng 1 giây mà không cần mất thời gian đặt bút viết công thức lượng giác ra nháp!

V. Kết luận

Bài tập 4.3 trang 73 giúp các em ghi nhớ mối liên hệ định lượng giữa góc nhọn và các cạnh thành phần trong cấu trúc tam giác vuông. Qua đó rèn luyện kỹ năng nhận diện và chuyển đổi linh hoạt hệ thức $\sin$ nhằm giải các bài toán giải tam giác vuông phức tạp hơn ở phía sau.