Bài 3.34 trang 65 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và phân tích bản chất định lý giúp các em học sinh làm chủ dạng toán này.

I. Đề bài tập 3.34 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 65)

Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{(4-\sqrt{17})^3}$ ta được:

• A. $4 + \sqrt{17}$

• B. $4 - \sqrt{17}$

• C. $\sqrt{17} - 4$

• D. $-4 - \sqrt{17}$

II. Định lý các công thức toán cần nhớ

Để giải quyết chính xác câu hỏi này mà không sợ bị nhầm lẫn dấu, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần ghi nhớ định lý nền tảng về căn bậc ba trong sách giáo khoa:

Tính chất căn bậc ba của một lũy thừa:

Với mọi số thực hoặc biểu thức đại số $A$ bất kỳ, ta luôn có hệ thức quy đổi trực tiếp:

$$\sqrt[3]{A^3} = A$$

• Bản chất lý thuyết: Phép toán khai căn bậc ba (bậc lẻ) luôn cho phép giữ nguyên hoàn toàn dấu của biểu thức lõi bên trong. Căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của một số dương là một số dương. Do đó, chúng ta hoàn toàn không cần đặt dấu giá trị tuyệt đối $|A|$ và không cần tốn thời gian xét xem biểu thức $A$ mang giá trị âm hay dương. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với hằng đẳng thức bậc chẵn $\sqrt{A^2} = |A|$ của căn bậc hai.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.34

• Bước 1: Nhận diện cấu trúc biểu thức

  Quan sát biểu thức đề bài cho:

  $$\sqrt[3]{(4-\sqrt{17})^3}$$

  Biểu thức này có dạng cấu trúc chuẩn của hằng đẳng thức $\sqrt[3]{A^3}$ với phần lõi hằng số $A = 4 - \sqrt{17}$.

• Bước 2: Áp dụng định lý khử căn bậc ba

  Theo tính chất giữ nguyên xi biểu thức gốc của căn bậc lẻ đã nêu ở mục II, ta thực hiện triệt tiêu đồng thời số mũ 3 và dấu căn bậc ba:

  $$\sqrt[3]{(4-\sqrt{17})^3} = 4 - \sqrt{17}$$

  (Lưu ý: Ngay cả khi $4 < \sqrt{17}$ làm cho hiệu số này âm, kết quả vẫn giữ nguyên là $4 - \sqrt{17}$ mà không đảo ngược lại thành $\sqrt{17}-4$).

Đối chiếu với các phương án lựa chọn của đề bài, ta thấy kết quả trùng khớp hoàn toàn với câu B.

IV. Mẹo tránh sai "Đảo dấu căn bậc hai" (Dành cho trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất và tránh được những lỗi sai đáng tiếc do thói quen rập khuôn, Hay Học Hỏi chia sẻ mẹo phân biệt trực quan sau:

• Hãy luôn nhớ quy tắc phân biệt bậc của căn: "Căn bậc hai mới xét lớn nhỏ - Căn bậc ba cứ hạ thẳng xuống". Cứ thấy chỉ số căn là số 3, các em chỉ cần che dấu căn và mũ 3 đi, phần chữ còn lại như thế nào thì đó chính là đáp án cuối cùng. Mẹo này giúp các em chốt được đáp án chính xác chỉ trong vòng 1 giây mà không bị đánh lừa thị giác.

V. Kết luận

Bài tập 3.34 trang 65 là một câu hỏi trắc nghiệm tuy ngắn nhưng rất tinh tế, giúp học sinh củng cố lại một cách nghiêm túc sự khác biệt giữa hai hệ thống căn thức bậc chẵn và căn thức bậc lẻ. Việc làm chủ định lý căn bậc ba giữ nguyên dấu sẽ giúp các em xây dựng tư duy toán học mạch lạc, chính xác để xử lý các bài toán giải phương trình chứa căn phức tạp ở các chương sau.