Giải chi tiết Toán 10 Bài 1: Mệnh đề (Kết nối tri thức)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm bài Mệnh đề

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

• Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề):Là những câu khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng.Những câu hỏi,câu cảm thán,câu cầu khiến không xác định được tính đúng sai thì không phải là mệnh đề.

• Quy tắc chí mạng:Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

• Người ta thường sử dụng các chữ cái viết hoa$P, Q, R, \dots$để biểu thị các mệnh đề.

• Mệnh đề toán học:Là những mệnh đề diễn tả một sự kiện,một khẳng định,một tính chất toán học.

  • Ví dụ mệnh đề thông thường:"Paris là thủ đô của nước Pháp" là một mệnh đề đúng (nhưng không phải mệnh đề toán học).

  • Ví dụ mệnh đề toán học:"Số$\sqrt{2}$là một số vô tỉ" là một mệnh đề toán học đúng.

• Mệnh đề chứa biến:Là câu khẳng định chưa thể xác định được tính đúng sai ngay lập tức vì nó còn phụ thuộc vào giá trị của biến số.Khi thay biến bằng một giá trị cụ thể,ta mới thu được một mệnh đề.

  • Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến$n$là$P(n)$; mệnh đề chứa biến$x, y$là$P(x, y), \dots$

  • Ví dụ:Khẳng định "$3n + 1$ là một số chẵn" là một mệnh đề chứa biến $n \in \mathbb{N}$. Khi ta chọn $n = 1$ , ta được mệnh đề đúng là "$4$ là một số chẵn".Khi ta chọn $n = 2$, ta được mệnh đề sai là "$7$ là một số chẵn".

2. Mệnh đề phủ định

• Để phủ định một mệnh đề $P$ ,người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$ . Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}$.

• Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau.Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai,còn nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

  • Ví dụ:Cho mệnh đề $P$:"Số 11 là số nguyên tố" (Mệnh đề đúng).Mệnh đề phủ định sẽ là $\overline{P}$: "Số 11 không phải là số nguyên tố" (Mệnh đề sai).

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

3.1. Mệnh đề kéo theo

• Mệnh đề "Nếu $P$thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.

• Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng $P \Rightarrow Q$.Khi đó ta nói:

  • $P$là giả thiết của định lí, $Q$ là kết luận của định lí.

  • Hoặc:"$P$ là điều kiện đủ để có $Q$".

  • Hoặc: "$Q$ là điều kiện cần để có $P$".

• Quy tắc xét tính đúng sai:Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.Do đó ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ trong trường hợp$P$đúng.

  • Ví dụ:Cho mệnh đề kéo theo:"Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau".Đây là một mệnh đề kéo theo đúng.

3.2. Mệnh đề đảo

• Mệnh đề$Q \Rightarrow P$được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

• Nhận xét:Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

  • Ví dụ:Cho mệnh đề thuận $P \Rightarrow Q$:"Nếu số thực $x = 3$ thì $x^2 = 9$" (Mệnh đề đúng).Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ sẽ là:"Nếu số thực $x$ có $x^2 = 9$thì $x = 3$".Mệnh đề đảo này SAI vì ngoài giá trị $x = 3$ ta còn có trường hợp $x = -3$.

4. Mệnh đề tương đương

• Mệnh đề "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$" (hoặc "$P$ khi và chỉ khi $Q$") được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

• Nhận xét:Nếu cả hai mệnh đề kéo theo thuận $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$đều đúng thì hai mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$đúng.Khi đó ta có thể gọi "$P$là điều kiện cần và đủ để có $Q$".

  • Ví dụ:"Tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có hai góc ở đáy bằng nhau".Đây là một mệnh đề tương đương đúng toán học.

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall$ và $\exists$

• Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi".Phát biểu "Với mọi số tự nhiên $n$" có thể kí hiệu là $\forall n \in \mathbb{N}$.

• Kí hiệu $\exists$đọc là "có một","tồn tại ít nhất một".Phát biểu "Tồn tại số tự nhiên $n$" có thể kí hiệu là $\exists n \in \mathbb{N}$.

• Mẹo tìm mệnh đề phủ định chứa kí hiệu lượng từ:

  • Phủ định của mệnh đề "$\forall x \in X, P(x)$" là mệnh đề "$\exists x \in X, \overline{P}(x)$".

  • Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in X, P(x)$" là mệnh đề "$\forall x \in X, \overline{P}(x)$".

  • Ví dụ:Cho mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0$".Mệnh đề phủ định của nó là "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 \le 0$".

II. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Toán 10 Bài 1

Bài 1.1 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Trong các câu sau,câu nào là mệnh đề?

• a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

• b) Bạn học trường nào?

• c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

• d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Phân tích và Hướng dẫn giải:Để giải bài toán này,các em cần nhớ lại định nghĩa:Mệnh đề là một câu khẳng định xác định được tính đúng hoặc tính sai rõ ràng.Các câu hỏi,câu cảm thán,câu cầu khiến/mệnh lệnh tuyệt đối không phải là mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

• a) "Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới"Đây là một câu khẳng định và chúng ta có thể kiểm chứng được tính đúng sai của nó dựa trên số liệu thống kê dân số thực tế.$\Rightarrow$ Kết luận:Câu này là mộtmệnh đề.

• b) "Bạn học trường nào?"Đây là một câu hỏi dùng để khai thác thông tin,không mang tính khẳng định đúng hay sai.$\Rightarrow$ Kết luận:Câu nàykhông phảilà một mệnh đề.

• c) "Không được làm việc riêng trong giờ học"Đây là một câu mệnh lệnh,nhắc nhở hoặc yêu cầu hành vi,không thể xác định tính đúng sai.$\Rightarrow$ Kết luận:Câu nàykhông phảilà một mệnh đề.

• d) "Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang"Đây là câu khẳng định,tuy nhiên tính đúng sai của nó hoàn toàn phụ thuộc vào một sự kiện chưa xảy ra ở tương lai và có yếu tố ngẫu nhiên,tại thời điểm nói ta chưa thể kết luận nó đúng hay sai.$\Rightarrow$ Kết luận:Câu nàykhông phảilà một mệnh đề.

Bài 1.2 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

• a)$\pi > \frac{10}{3}$

• b) Phương trình$3x + 7 = 0$có nghiệm

• c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0

• d) 2022 là hợp số.

Phân tích và Hướng dẫn giải:Các em cần dùng các kiến thức cơ bản về số học,đại số để kiểm tra từng mệnh đề:So sánh giá trị số thập phân của$\pi$,giải phương trình bậc nhất,tìm số thực thỏa mãn phương trình và vận dụng dấu hiệu chia hết để kiểm tra khái niệm hợp số.

Lời giải chi thức:

• a) Mệnh đề: $\pi > \frac{10}{3}$Ta có giá trị xấp xỉ của$\pi \approx 3,14159$.Phân số$\frac{10}{3} \approx 3,33333$.Vì$3,14159 < 3,33333$nên khẳng định$\pi > \frac{10}{3}$là không chính xác.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề nàySAI.

• b) Mệnh đề: Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm.Ta thực hiện giải phương trình bậc nhất:

  $$3x + 7 = 0 \Leftrightarrow 3x = -7 \Leftrightarrow x = -\frac{7}{3}$$

  Vì$-\frac{7}{3}$là một số thực hoàn toàn xác định,nên phương trình rõ ràng có nghiệm.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề nàyĐÚNG.

• c) Mệnh đề: Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0.Phát biểu này tương đương với việc tìm một số$x$sao cho$x + x = 0$.Ta nhận thấy số$0$thỏa mãn điều kiện này vì$0 + 0 = 0$.Do đã chỉ ra được ít nhất một phần tử thỏa mãn nên mệnh đề tồn tại này là chính xác.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề nàyĐÚNG.

• d) Mệnh đề: 2022 là hợp số.Theo định nghĩa,hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước số.Số 2022 có chữ số tận cùng là số chẵn (số 2),do đó ngoài ước là 1 và chính nó (2022),số 2022 chắc chắn còn chia hết cho 2.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề nàyĐÚNG.

Bài 1.3 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Cho hai câu sau:

• $P$:"Tam giác$ABC$là tam giác vuông"

• $Q$:"Tam giác$ABC$có một góc bằng tổng hai góc còn lại" Hãy phát biểu mệnh đề tương đương$P \Leftrightarrow Q$và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Cú pháp phát biểu mệnh đề tương đương$P \Leftrightarrow Q$chuẩn là:"$P$khi và chỉ khi$Q$" hoặc "$P$nếu và chỉ nếu$Q$".

• Để xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương,các em bắt buộc phải chứng minh bài toán theo hai chiều độc lập:Chiều thuận ($P \Rightarrow Q$) và chiều đảo ($Q \Rightarrow P$).Nếu cả hai chiều đều cho kết quả đúng thì mệnh đề tương đương mới đúng.

Lời giải chi tiết:

1. Phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$:"Tam giác$ABC$là tam giác vuôngkhi và chỉ khitam giác$ABC$có một góc bằng tổng hai góc còn lại."

2. Xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương:Gọi ba góc của tam giác$ABC$lần lượt là$\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$.Theo định lý tổng ba góc trong một tam giác,ta luôn có hệ thức: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

• Chiều thuận ($P \Rightarrow Q$):Giả sử tam giác$ABC$vuông tại$A$.Khi đó,số đo góc$\widehat{A} = 90^\circ$.Thế vào công thức tổng ba góc ta có:

  $$90^\circ + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$$

  Vì$\widehat{A} = 90^\circ$nên ta suy ra được$\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$.Như vậy,tam giác vuông luôn có một góc bằng tổng hai góc còn lại.Mệnh đề$P \Rightarrow Q$làĐÚNG.

• Chiều đảo ($Q \Rightarrow P$):Giả sử tam giác$ABC$có một góc bằng tổng hai góc còn lại,ta giả định góc đó là$\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$.Biến đổi hệ thức tổng ba góc:

  $$\widehat{A} + (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^\circ$$

  Thay$(\widehat{B} + \widehat{C})$bằng$\widehat{A}$theo giả thiết,ta được phương trình:

  $$\widehat{A} + \widehat{A} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\widehat{A} = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat{A} = 90^\circ$$

  Vì tam giác$ABC$sở hữu một góc bằng$90^\circ$nên theo định nghĩa,đây chắc chắn là tam giác vuông.Mệnh đề$Q \Rightarrow P$làĐÚNG.

$\Rightarrow$ Kết luận chung:Vì cả hai chiều thuận và đảo đều đúng,nên mệnh đề tương đương$P \Leftrightarrow Q$làĐÚNG.

Bài 1.4 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

• $P$:"Nếu số tự nhiên$n$có chữ số tận cùng là 5 thì$n$chia hết cho 5".

• $Q$:"Nếu tứ giác$ABCD$là hình chữ nhật thì tứ giác$ABCD$có hai đường chéo bằng nhau".

Phân tích và Hướng dẫn giải:Mệnh đề kéo theo gốc có cấu trúc "Nếu$A$thì$B$".Mệnh đề đảo sẽ đảo ngược vị trí thành "Nếu$B$thì$A$".Để chứng minh một mệnh đề đảo là sai,phương pháp nhanh nhất là chỉ ra một ví dụ phản chứng (tìm một trường hợp thỏa mãnvế giả thiết mới nhưng làm sai vế kết luận mới).

Lời giải chi tiết:

1. Xét mệnh đề$P$:

• Phát biểu mệnh đề đảo của$P$:"Nếu số tự nhiên$n$chia hết cho 5 thì$n$có chữ số tận cùng là 5".

• Xác định tính đúng sai:Ta tìm một số tự nhiên chia hết cho 5 nhưng đuôi không phải là 5.Chọn phản chứng$n = 20$.Ta thấy 20 rõ ràng chia hết cho 5,nhưng chữ số tận cùng của nó là số 0,không phải là số 5.

• Kết luận:Mệnh đề đảo của$P$làSAI.

2. Xét mệnh đề $Q$:

• Phát biểu mệnh đề đảo của $Q$:"Nếu tứ giác$ABCD$có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác$ABCD$là hình chữ nhật".

• Xác định tính đúng sai:Ta cần tìm một hình học phẳng có 2 đường chéo bằng nhau nhưng không đạt tiêu chuẩn hình chữ nhật.Xét hình thang cân:Theo tính chất hình học,mọi hình thang cân đều có hai đường chéo bằng nhau,tuy nhiên hình thang cân thông thường không phải là hình chữ nhật.

• Kết luận:Mệnh đề đảo của$Q$làSAI.

Bài 1.5 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Với hai số thực$a$và$b$,xét các mệnh đề$P$:"$a^2 < b^2$" và$Q$:"$0 < a < b$"

• a) Hãy phát biểu mệnh đề$P \Rightarrow Q$.

• b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

• c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải chi tiết:

• a) Phát biểu mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$:"Nếu$a^2 < b^2$thì$0 < a < b$."

• b) Phát biểu mệnh đề đảo của câu a ($Q \Rightarrow P$):"Nếu$0 < a < b$thì$a^2 < b^2$."

• c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề:

  • Xét mệnh đề câu a ($P \Rightarrow Q$):Ta đi tìm một phản chứng sao cho bình phương số này nhỏ hơn bình phương số kia nhưng không thỏa điều kiện dương và nhỏ hơn.Chọn cặp số thực: $a = -1$và$b = -3$.Ta tính bình phương: $a^2 = (-1)^2 = 1$và$b^2 = (-3)^2 = 9$.Rõ ràng ta có$1 < 9$(thỏa mãn$a^2 < b^2$).Tuy nhiên,xét điều kiện kết luận thì$-3 < -1 < 0$,trái ngược hoàn toàn với mệnh đề$0 < a < b$.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề câu a làSAI.

  • Xét mệnh đề câu b ($Q \Rightarrow P$):Giả thiết cho chúng ta biết$a$và$b$là hai số thực dương thỏa mãn$a < b$.Vì$a$và$b$cùng dương,khi ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức$a < b$với số dương$a$,ta được: $a^2 < ab$(1).Tiếp tục nhân cả hai vế của bất đẳng thức$a < b$với số dương$b$,ta được: $ab < b^2$(2).Từ (1) và (2),áp dụng tính chất bắc cầu,ta suy ra: $a^2 < b^2$.Khẳng định này luôn đúng với mọi số thực dương.$\Rightarrow$ Kết luận:Mệnh đề đảo ở câu b làĐÚNG.

Bài 1.6 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Mệnh đề lượng từ tồn tại "$\exists$" chỉ cần tìm được tối thiểu một giá trị nghiệm đúng là mệnh đề đúng.Hãy kiểm tra với số tự nhiên đặc biệt đầu tiên là số 0.

• Khi tìm mệnh đề phủ định$\overline{Q}$,ta chuyển đổi kí hiệu "$\exists$" thành "$\forall$" và phủ định mệnh đề điều kiện đi kèm từ "chia hết" thành "không chia hết".

Lời giải chi tiết:

1. Xác định tính đúng sai của mệnh đề $Q$: Tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.

Ta kiểm tra phần tử đầu tiên là số $n = 0$. Thế giá trị $n = 0$ vào biểu thức điều kiện, ta thu được: Biến số ở tử: $n = 0$. Biến số ở mẫu chia: $n + 1 = 0 + 1 = 1$. Theo quy tắc số học, số 0 chia cho bất kì số nguyên nào khác 0 cũng đều bằng 0, nghĩa là số 0 luôn chia hết cho 1. Như vậy, phần tử $n = 0 \in \mathbb{N}$ hoàn toàn thỏa mãn điều kiện đề bài. Do tìm được phần tử thỏa mãn nên:$\Rightarrow$ Kết luận: Mệnh đề $Q$ là ĐÚNG.

2. Tìm mệnh đề phủ định của $Q$ ($\overline{Q}$): Áp dụng quy tắc biến đổi lượng từ, mệnh đề phủ định của $Q$ ký hiệu là $\overline{Q}$ và được phát biểu bằng ký hiệu như sau:

Phát biểu bằng lời: "Với mọi số tự nhiên $n$ thì $n$ không chia hết cho $n + 1$".

Tính đúng sai của mệnh đề phủ định: Vì mệnh đề gốc $Q$ đã chứng minh là đúng, nên theo tính chất logic, mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ bắt buộc phải nhận giá trị là SAI (Ví dụ phản chứng cho mệnh đề $\overline{Q}$ chính là giá trị $n = 0$ ta vừa tìm được ở trên).

Bài 1.7 (Trang 11 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:

• $P$: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó"

• $Q$: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0"

Phân tích và Hướng dẫn giải: Các em tiến hành bóc tách văn bản thô thành các ký hiệu tương ứng trong toán học:

• Cụm từ "Mọi số tự nhiên" $\rightarrow$ Ký hiệu $\forall n \in \mathbb{N}$.

• Cụm từ "Có một số thực" $\rightarrow$ Ký hiệu $\exists x \in \mathbb{R}$.

• Các điều kiện biểu thức đại số "bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó" $\rightarrow n^2 \ge n$; "cộng với chính nó bằng 0" $\rightarrow x + x = 0$.

Lời giải chi tiết:

• a) Chuyển đổi mệnh đề $P$:

  • Khẳng định toàn thể "Mọi số tự nhiên $n$" được chuẩn hóa bằng ký hiệu lượng từ: $\forall n \in \mathbb{N}$.

  • Mối quan hệ đại số "bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó" dịch sang biểu thức: $n^2 \ge n$.

  • Kết luận: Mệnh đề $P$ được viết gọn bằng ký hiệu toán học là:

    $$P: "\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \ge n"$$

• b) Chuyển đổi mệnh đề $Q$:

  • Khẳng định bộ phận "Có một số thực $x$" (tồn tại ít nhất một) được chuẩn hóa bằng ký hiệu lượng từ: $\exists x \in \mathbb{R}$.

  • Mối quan hệ đại số "cộng với chính nó bằng 0" dịch sang biểu thức: $x + x = 0$ (hoặc viết gọn là $2x = 0$).

  • Kết luận: Mệnh đề $Q$ được viết gọn bằng ký hiệu toán học là:

    $$Q: "\exists x \in \mathbb{R}, x + x = 0"$$