Các dạng bài tập toán lượng giác và phương pháp giải - Toán lớp 10

Để học tốt chuyên đề này, các em phải "thuộc nằm lòng" các công thức lượng giác cơ bản. Bài viết này sẽ tổng hợp 5 dạng bài tập phổ biến nhất kèm phương pháp giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng.

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác khi biết một giá trị cho trước

¤ Phương pháp giải

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để thiết lập mối liên hệ giữa các giá trị:

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

• $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

• $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

• $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$

Lưu ý quan trọng: Cần dựa vào khoảng của góc $\alpha$ để xác định dấu (+ hoặc -) của giá trị lượng giác cần tìm.

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ nếu:

a) Cho $\cos\alpha = \frac{4}{13}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

• Ta có: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{13}\right)^2 = \frac{153}{169}$.

• Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha > 0$, nên $\sin\alpha = \sqrt{\frac{153}{169}} = \frac{3\sqrt{17}}{13}$.

• $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3\sqrt{17}}{13} : \frac{4}{13} = \frac{3\sqrt{17}}{4}$.

• $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{4}{3\sqrt{17}}$.

b) Cho $\sin\alpha = -0,7$ với $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

• Ta có: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-0,7)^2 = 0,51$.

• Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \cos\alpha < 0$, nên $\cos\alpha = -\sqrt{0,51} = -\frac{\sqrt{51}}{10}$.

• $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = (-0,7) : \left(-\frac{\sqrt{51}}{10}\right) = \frac{7}{\sqrt{51}}$.

• $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\sqrt{51}}{7}$.

c) Cho $\tan\alpha = -\frac{15}{7}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

• Ta có: $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{15}{7}\right)^2} = \frac{49}{274}$.

• Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos\alpha < 0$, nên $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{49}{274}} = \frac{-7}{\sqrt{274}}$.

• $\sin\alpha = \cos\alpha \cdot \tan\alpha = \frac{-7}{\sqrt{274}} \cdot \left(-\frac{15}{7}\right) = \frac{15}{\sqrt{274}}$.

• $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{7}{15}$.

d) Cho $\cot\alpha = -3$ với $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

• Ta có: $\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \cot^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{10}$.

• Vì $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \sin\alpha < 0$, nên $\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}}$.

• $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha = (-3) \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

• $\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = -\frac{1}{3}$.

Ví dụ 2: Tính giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt

a) Tính $\cos 225^\circ; \sin 240^\circ; \cot(-15^\circ); \tan 75^\circ$

• Tính $\cos 225^\circ$:

  Ta có: $225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$.

  Áp dụng công thức hơn kém $\pi$ ($180^\circ$): $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.

  $\Rightarrow \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Tính $\sin 240^\circ$:

  Ta có: $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$.

  $\Rightarrow \sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Tính $\tan 75^\circ$:

  Ta có: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Áp dụng công thức cộng: $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$.

  $\Rightarrow \tan 75^\circ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$.

• Tính $\cot(-15^\circ)$:

  Ta có: $\cot(-15^\circ) = -\cot 15^\circ = -\tan(90^\circ - 15^\circ) = -\tan 75^\circ$.

  Từ kết quả trên $\Rightarrow \cot(-15^\circ) = -(2 + \sqrt{3})$.

b) Tính $\sin \frac{7\pi}{12}; \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right); \tan\left(\frac{13\pi}{12}\right)$

• Tính $\sin \frac{7\pi}{12}$:

  Ta tách: $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

  $\Rightarrow \sin \frac{7\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

  $= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

• Tính $\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)$:

  Vì hàm cos là hàm chẵn nên $\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos \frac{\pi}{12}$.

  Ta tách: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

  $\Rightarrow \cos \frac{\pi}{12} = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

  $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

• Tính $\tan\left(\frac{13\pi}{12}\right)$:

  Ta có: $\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$. Áp dụng tính chất chu kỳ của tan: $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$.

  $\Rightarrow \tan \frac{13\pi}{12} = \tan \frac{\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}}$

  $= \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

¤ Phương pháp giải

• Để chứng minh đẳng thức $A = B$, ta vận dụng các công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân để biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) thành vế còn lại.

• Trong một số trường hợp, ta có thể biến đổi tương đương đẳng thức về một hệ thức luôn đúng hoặc chứng minh hiệu $A - B = 0$.

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức: $\cos\alpha (1+\cos\alpha)(\tan\alpha - \sin\alpha) = \sin^{3}\alpha$

Lời giải:

Biến đổi vế trái (VT):

$VT = \cos\alpha (1+\cos\alpha) \left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha \right)$

$= (1+\cos\alpha) \left( \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha \cdot \cos\alpha \right)$

$= (1+\cos\alpha)(\sin\alpha - \sin\alpha \cdot \cos\alpha)$

$= \sin\alpha(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) = \sin\alpha(1-\cos^{2}\alpha)$

$= \sin\alpha \cdot \sin^{2}\alpha = \sin^{3}\alpha = VP$ (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức:

a) $\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)} = \frac{\cot a \cdot \cot b + 1}{\cot a \cdot \cot b - 1}$

b) $\sin(a+b) \cdot \sin(a-b) = \sin^{2}a - \sin^{2}b = \cos^{2}b - \cos^{2}a$

c) $\cos(a+b) \cdot \cos(a-b) = \cos^{2}a - \sin^{2}b = \cos^{2}b - \sin^{2}a$

Lời giải:

• Câu a:

  $VT = \frac{\cos a \cos b + \sin a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b}$. Chia cả tử và mẫu cho $\sin a \sin b$, ta được:

  $\frac{\frac{\cos a \cos b}{\sin a \sin b} + 1}{\frac{\cos a \cos b}{\sin a \sin b} - 1} = \frac{\cot a \cot b + 1}{\cot a \cot b - 1} = VP$.

• Câu b:

  $VT = (\sin a \cos b + \cos a \sin b)(\sin a \cos b - \cos a \sin b) = \sin^{2}a \cos^{2}b - \cos^{2}a \sin^{2}b$

  $= \sin^{2}a(1-\sin^{2}b) - (1-\sin^{2}a)\sin^{2}b = \sin^{2}a - \sin^{2}b$

  $= (1-\cos^{2}a) - (1-\cos^{2}b) = \cos^{2}b - \cos^{2}a$.

• Câu c:

  $VT = \frac{1}{2} [\cos((a+b)-(a-b)) + \cos((a+b)+(a-b))] = \frac{1}{2}(\cos 2b + \cos 2a)$

  • Sử dụng $\cos 2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$:

  • $\frac{1}{2} (2\cos^{2}b - 1 + 1 - 2\sin^{2}a) = \cos^{2}b - \sin^{2}a$.

  • $\frac{1}{2} (1 - 2\sin^{2}b + 2\cos^{2}a - 1) = \cos^{2}a - \sin^{2}b$.

Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải

• Thực hiện các phép biến đổi tương tự như Dạng 2 để đưa biểu thức về dạng tối giản nhất.

• Nếu kết quả cuối cùng thu được là một hằng số, ta kết luận biểu thức đó không phụ thuộc vào biến $\alpha$.

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Bài 3 trang 154 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:

a) $A = \sin(a+b) + \sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin(-b)$

b) $B = \cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right) + \frac{1}{2}\sin^{2}a$

c) $C = \cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-b\right) - \sin(a-b)$ (Lưu ý: Chỉnh sửa góc b tương ứng theo ngữ cảnh bài tập mẫu)

Lời giải:

• Câu a: $A = \sin a \cos b + \cos a \sin b + \cos a (-\sin b) = \sin a \cos b$.

• Câu b: $B = \frac{1}{2} [\cos(2a) + \cos\frac{\pi}{2}] + \frac{1}{2}\sin^{2}a = \frac{1}{2}(1-2\sin^{2}a + 0) + \frac{1}{2}\sin^{2}a = \frac{1}{2} \cos^{2}a$.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}$

Lời giải:

• Tử số: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x = \sin 3x(2\cos 2x + 1)$.

• Mẫu số: $(\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 2\cos 3x \cos 2x + \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x + 1)$.

• Vậy $A = \frac{\sin 3x(2\cos 2x + 1)}{\cos 3x(2\cos 2x + 1)} = \tan 3x$.

Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với biến x

¤ Phương pháp giải

• Vận dụng các công thức cộng, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng để rút gọn biểu thức. Nếu kết quả là một hằng số, biểu thức đó độc lập với biến.

* Ví dụ minh họa

Ví dụ (Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10): Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$:

a) $A = \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$

b) $D = \frac{1-\cos 2x + \sin 2x}{1+\cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x$

Lời giải:

• Câu a: $A = \left(\sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x\right) - \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) = 0$.

• Câu b: $D = \frac{2\sin^{2}x + 2\sin x \cos x}{2\cos^{2}x + 2\sin x \cos x} \cdot \cot x = \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} \cdot \cot x = \tan x \cdot \cot x = 1$.

Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải

• Thay thế các cung góc không đặc biệt bằng các cung góc đặc biệt thông qua công thức cộng hoặc nhân đôi để tính giá trị cụ thể.

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị $A = \frac{2\cos^{2}\frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^{2}\frac{\pi}{8}\cos^{2}\frac{\pi}{8}}$

Lời giải:

$A = \frac{\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{1+2(2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8})^{2}} = \frac{\cos\frac{\pi}{4}}{1+2\sin^{2}\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}/2}{1+2(1/2)} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ví dụ 2: Tính giá trị $A = \sin 15^{\circ} + \tan 30^{\circ} \cos 15^{\circ}$

Lời giải:

$A = \sin 15^{\circ} + \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} \cos 15^{\circ} = \frac{\sin 15^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.