Hotline 0939 629 809

Viết Phương trình các cạnh, đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của Tam Giác ABC - Toán lớp 10 chuyên đề

14:29:0614/05/2020

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến hay đường phân giác cũng là một trong các dạng toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở nội dung toán lớp 10 đã được giới thiệu với các em.

Tuy nhiên, để Viết được phương trình các cạnh của tam giác ABC hay viết phương trình đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác, ngoài việc nhớ cách viết phương trình đường thẳng các em cần nhớ được tính chất của các đường này.

Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu một số loại bài tập thường gặp về viết phương trình các cạnh, phương trình đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác của góc trong tam giác và mối quan hệ qua lại giữa các đường thẳng này.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp Các dạng toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cực hay

Loại 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(3;-1), B(6;2) và C(1;4). Hãy viết phương trình đường thẳng AB, BC và CA.

° Lời giải:

- Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

 

 

- Tương tự PTTQ của đường thẳng BC là:

 

 

- Tương tự PTTQ của đường thẳng CA là: 

 

 

 Loại 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A và 2 đường cao BI và CH.

* Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và đường cao BI và CH có phương trình lần lượt là 9x - 3y - 4 = 0 và x + y - 2 = 0.

° Lời giải:

- Vì BI ⊥ AC nên vectơ pháp tuyến của BI là vectơ chỉ phương của AC tức là:

 

⇒ PTĐT AC qua A(2;2) có VTPT (1;3) có pt:

 

¤ Lưu ý: Có thể viết PTĐT AC có VTPT (1;3) có dạng: x + 3y + m = 0 qua A(2;2) nên thay A vào pt được: 2 + 3.2 + m = 0 ⇒ m = -8 ⇒ PTĐT AC là: x + 3y - 8 = 0.

- Tương tự vì CH ⊥ AB  nên vectơ pháp tuyến của CH là vectơ chỉ phương của AB tức là: 

⇒ PTĐT AB qua A(2;2) có VTPT (-1;1) có pt: 

 

- Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AB và BI:

 

 Giải hệ trên được B(2/3;2/3)

- Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AC và CH:

 

 Giải hệ này được C(-1;3).

⇒ Phương trình tổng quát cạnh BC của tam giác có dạng:

 

 

° Loại 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm A và 2 đường trung tuyến BM và CN.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;1) và hai đường trung tuyến BM và CN có phương trình lần lượt là: 2x + y - 1 = 0 và x - 1 = 0.

° Lời giải:

- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ pt tạo bởi BM và CN:

- Gọi B(xB;yB), vì B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có:

 2xB + yB - 1 = 0 ⇒ yB = -2xB + 1 ⇒ B(xB; -2xB+1)

- Gọi C(xC;yC), vì C thuộc đường trung tuyến CN nên ta có:

 xC - 1 = 0 ⇒ xC = 1 ⇒ C(1;yC)

- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên có:

  

 

  

- Bài toán giờ trở về lập pt các cạnh của tam giác biết tọa độ điểm A(2;1), B(0;1) và C(1;-5) như loại 1.(Các em tự làm tiếp).

° Loại 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm các trung điểm

* Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(2;0), N(2;2) và P(-1;3)

° Lời giải:

Cách 1: Sử dụng tính chất trung điểm (cách phổ biến thường dùng).

- Vì M là trung điểm của cạnh BC nên có:

 

- Vì N là trung điểm của cạnh CA nên có:

 

- Vì P là trung điểm của cạnh AB nên có:

 

- Để tìm tạo độ A,B,C của tam giác ta đi giải hệ phương trình:

 

 

- Vậy ta có tọa độ các điểm A(-1;5), B(-1;1) và C(5;-1)

- Lập phương trình các cạnh tương tự loại 1.

Cách 2: Sử dụng tính tổng vectơ của hình bình hành (các em vẽ hình để dễ hình dung).

- Tứ giác ANMP là hình bình hành nên có: 

- Tứ giác BMNP là hình bình hành nên: 

- Tương tự CMPN là hình bình hành nên: 

- Từ đây ta quay lại loại 1 lập pt các cạnh tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh.

° Loại 5: Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(3;-1), B(6;2) và C(1;4). Hãy viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác.

¤ Lời giải:

• Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh A đi qua trung điểm của cạnh BC. Gọi M(xM;yM) là trung điểm của BC, khi đó ta có:

 

 

- Phương trình tổng quát đường trung tuyến hạ từ A xuống BC là:

  

 

• Làm tương tự với các đường trung tuyến hạ từ B xuống AC và C xuống AB.

° Loại 6: Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.

* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(3;-1), B(6;2) và C(1;4). Hãy viết phương trình các đường cao của tam giác.

¤ Lời giải:

• Sử dụng tính chất đường cao trong tam giác, đường cao hạ từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC nên có vectơ BC là pháp tuyến.

 

⇒ Phương trình đường cao đi qua A(3;-1) có vectơ pháp tuyến  có dạng:

  

• Tương tự, đường cao qua B vuông góc AC nhận AC làm vectơ pháp tuyến; đường cao qua C vuông góc AB nhận AB làm vectơ pháp tuyến.

° Loại 7: Viết phương trình các đường phân giác của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.

* Phương pháp giải: 

- Cho 2 đường thẳng cắt nhau (d1): A1x + b1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0.

- Sử dụng tính chất đường phân giác, điểm M(x;y) bất kỳ thuộc đường phân giác luôn cách đều 2 đường thẳng (d1) và (d2). Tức là, phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

 

* Chú ý: Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(xA; yA); B(xB;yB ).

- Đặt f(x;y) = Ax + By + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA).f(xB; yB) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) < 0

* Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0;2), B(1;2) và C(3;6). Phương trình đường phân giác trong các góc A,B,C của tam giác.

¤ Lời giải:

• Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. Bất kỳ điểm M nào nằm trên đường phân giác góc A cách đều cạnh AB và AC.

 Tức là M(xM;yM) nằm trên đường phân giác góc A thì: 

⇒ Như vậy trước hết cần lập phương trình đường thẳng AB, AC và BC, sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường phân giác tới 2 cạnh tương ứng.

• Viết pt đường phân giác góc A

- Đường thẳng AB qua A(0;2) có VTCP:

⇒ PT đường thẳng AB: 0(x - 0) + 1(y - 2) = 0 ⇔ y - 2 = 0

- Tương tự AC qua A(0;2) có VTCP:

⇒ PT đường thẳng AC: 4(x - 0) – 3(y - 2) = 0 ⇔ 4x - 3y + 6 = 0

⇒ Các đường phân giác góc A là: 

 

 

- Ta đặt f1(x;y) = x - 2y + 4

⇒ f1(B).f1(C) = (1 - 2.2 + 4)(3 - 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng: x - 2y + 4 = 0.

⇒ Đường phân giác trong góc A là: x - 2y + 4 = 0

- Ta đặt f2(x;y) = 2x + y - 2

⇒ f2(B).f2(C) = (2.1 + 2 - 2)(2.3 + 6 - 2) = 20 > 0

⇒ Đường phân giác ngoài góc A là: 2x + y - 2 = 0

• Viết pt đường phân giác góc B và C tương tự

Hy vọng với bài viết Viết Phương trình các cạnh, đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của Tam Giác ABC ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
zun san
dạ làm sao viết đc phương trình của cạnh thứ ba khi biết trực tâm của tam giác trùng vs gốc tọa độ ạ
Trả lời -
17/03/2022 - 16:23
...
Admin
Trực tâm là giao 3 đường cao, trực tập trùng gốc tọa độ là (0,0). Ngoài ra phải có thêm dữ liệu bài toán cho thì mới viết được pt cạnh còn lại em nhé.
24/03/2022 - 17:39
captcha
...
hí hí ha ha
rất hay và bổ ích cho bọn dốt toán giống mk
Trả lời -
07/05/2021 - 20:21
captcha
...
Đỗ Thị Nhiên
cho e xin file vs ạ
Trả lời -
30/04/2021 - 15:37
...
Admin
Chào em, nội dung này em chịu khó xem trên website nhé, chúc em thành công !
06/05/2021 - 09:27
captcha
...
Trần Khải
cho em xin ạ
Trả lời -
14/04/2021 - 22:55
...
Admin
Chào em, nội dung này em chịu khó tham khảo trên website nhé, chúc em nhiều thành công !
15/04/2021 - 09:57
captcha
...
Nguyễn Tiến Đạt
Tại sao em không thấy pt đường trung trực và đường trung bình vậy ad?
Trả lời -
26/03/2021 - 20:57
...
Admin
Có đầy đủ trong bài viết đó em ơi
30/03/2021 - 08:53
captcha
...
Trịnh Kiều Trang
cho e xin file ạ
Trả lời -
31/01/2021 - 17:25
...
Admin
Chào em, nội dung này em chịu khó xem trên website nhé, chúc em học tốt !
01/02/2021 - 09:27
captcha
...
Dương Nhật Thy
cho em xin file ạ
Trả lời -
25/10/2020 - 11:04
...
Admin
Nội dung này tạm thời em chịu khó xem trên website nhé, chúc em học tốt !
28/10/2020 - 07:55
captcha
...
Nguyễn Anhquana
Dạ cho e hỏi là cái công thức tổng quát viết phương trình đường thẳng ở loại 1 ở đâu vậy ạ e bị bắt chứng minh cái đó mà tìm trong sgk ko có
Trả lời -
30/08/2020 - 14:55
...
Admin
Đây là pt tổng quát, dạng phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó em, sgk có nhé, em xem lại nha
01/09/2020 - 10:53
captcha
...
Ngô Hải Yến
ad cho e xin tài liệu file này với ạ
Trả lời -
22/06/2020 - 09:14
...
Admin
Chào em, nội dung này em chịu khó xem trên website nha, chúc em học tốt!
22/06/2020 - 16:15
captcha
...
Thái Nguyễn Tuấn Anh
cho e xin file này
Trả lời -
17/06/2020 - 21:04
...
Admin
Nội dung bài này em chịu khó xem trên website nhé, Ad có thể cập nhật thêm em ạ, chúc em học tốt!
19/06/2020 - 17:04
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 23
Tin liên quan