Viết Phương trình các cạnh, đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của Tam Giác ABC (Toán 10)

Bài viết này hệ thống hóa 7 loại bài tập viết phương trình đường thẳng trong tam giác thường gặp, đi kèm lời giải chi tiết và phương pháp phân tích cụ thể.

I. Cách viết phương trình các cạnh tam giác $ABC$

Loại 1: Biết tọa độ ba đỉnh $A, B, C$

• Phương pháp: Đường thẳng đi qua hai điểm $M(x_M; y_M)$ và $N(x_N; y_N)$ có phương trình chính tắc dạng:

  $$\frac{x - x_M}{x_N - x_M} = \frac{y - y_M}{y_N - y_M}$$

• Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ biết $A(3;-1), B(6;2)$ và $C(1;4)$. Viết phương trình tổng quát các cạnh của tam giác.

• Lời giải:

  • Phương trình cạnh $AB$:

    $$\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-(-1)}{2-(-1)} \Leftrightarrow \frac{x-3}{3} = \frac{y+1}{3} \Leftrightarrow x - y - 4 = 0$$

  • Phương trình cạnh $BC$:

    $$\frac{x-6}{1-6} = \frac{y-2}{4-2} \Leftrightarrow \frac{x-6}{-5} = \frac{y-2}{2} \Leftrightarrow 2x + 5y - 22 = 0$$

  • Phương trình cạnh $CA$:

    $$\frac{x-1}{3-1} = \frac{y-4}{-1-4} \Leftrightarrow \frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{-5} \Leftrightarrow 5x + 2y - 13 = 0$$

Loại 2: Biết tọa độ đỉnh $A$ và hai đường cao $BI, CH$

• Phương pháp: * Đường cao $BI \perp AC \rightarrow$ Vectơ pháp tuyến (VTPT) của $BI$ là vectơ chỉ phương (VTCP) của $AC$.

  • Tọa độ đỉnh $B$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và $BI$. Tọa độ đỉnh $C$ là giao điểm của $AC$ và $CH$.

• Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết $A(2;2)$, đường cao $BI: 9x - 3y - 4 = 0$ và đường cao $CH: x + y - 2 = 0$.

• Lời giải:

  • Vì $BI \perp AC \rightarrow \vec{u}_{AC} = \vec{n}_{BI} = (9; -3) \rightarrow \vec{n}_{AC} = (1; 3)$.

    Phương trình cạnh $AC$ đi qua $A(2;2)$ có dạng: $1(x - 2) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0$.

  • Vì $CH \perp AB \rightarrow \vec{u}_{AB} = \vec{n}_{CH} = (1; 1) \rightarrow \vec{n}_{AB} = (-1; 1)$.

    Phương trình cạnh $AB$ đi qua $A(2;2)$ có dạng: $-1(x - 2) + 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$.

  • Tìm tọa độ điểm $B$ là giao điểm của $AB$ và $BI$, giải hệ phương trình:

    $$\begin{cases} x - y = 0 \\ 9x - 3y - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow B\left(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$$

  • Tìm tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và $CH$, giải hệ phương trình:

    $$\begin{cases} x + 3y - 8 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow C(-1; 3)$$

  • Lập phương trình cạnh $BC$ đi qua hai điểm $B$ và $C$:

    $$\frac{x - \frac{2}{3}}{-1 - \frac{2}{3}} = \frac{y - \frac{2}{3}}{3 - \frac{2}{3}} \Leftrightarrow \frac{3x - 2}{-5} = \frac{3y - 2}{7} \Leftrightarrow 21x + 15y - 24 = 0 \Leftrightarrow 7x + 5y - 8 = 0$$

Loại 3: Biết tọa độ đỉnh $A$ và hai đường trung tuyến $BM, CN$

• Phương pháp: Tìm tọa độ trọng tâm $G = BM \cap CN$. Tham số hóa tọa độ hai điểm $B \in BM$ và $C \in CN$, sau đó áp dụng công thức trọng tâm tam giác để giải tìm tọa độ $B$ và $C$.

• Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $A(2;1)$ và hai đường trung tuyến $BM: 2x + y - 1 = 0$, $CN: x - 1 = 0$.

• Lời giải:

  • Tọa độ trọng tâm $G$ là nghiệm của hệ phương trình:

    $$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow G(1; -1)$$

  • Điểm $B \in BM \rightarrow B(x_B; 1 - 2x_B)$. Điểm $C \in CN \rightarrow C(1; y_C)$.

  • Áp dụng công thức hệ tọa độ trọng tâm $G$:

    $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \Leftrightarrow 1 = \frac{2 + x_B + 1}{3} \Rightarrow x_B = 0 \rightarrow B(0; 1)$$
    $$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \Leftrightarrow -1 = \frac{1 + 1 + y_C}{3} \Rightarrow y_C = -5 \rightarrow C(1; -5)$$

  • Khi đã có tọa độ 3 đỉnh $A(2;1), B(0;1), C(1;-5)$, bài toán quay về dạng Loại 1.

Loại 4: Biết tọa độ ba trung điểm của các cạnh

• Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết trung điểm của $BC, CA, AB$ lần lượt là $M(2;0), N(2;2)$ và $P(-1;3)$.

• Lời giải (Sử dụng tính chất hình bình hành):

  • Tứ giác $ANMP$ là hình bình hành $\rightarrow \vec{MA} = \vec{PN} + \vec{PM}$

    $$\vec{MN} = (0; 2), \quad \vec{MP} = (-3; 3) \Rightarrow \vec{MA} = \vec{MN} + \vec{MP} = (-3; 5)$$

    Mà $\vec{MA} = (x_A - 2; y_A - 0) \Rightarrow \begin{cases} x_A - 2 = -3 \\ y_A = 5 \end{cases} \Rightarrow A(-1; 5)$

  • Tứ giác $BMNP$ là hình bình hành $\rightarrow \vec{NB} = \vec{NP} + \vec{NM} = (-3; -1)$

    Mà $\vec{NB} = (x_B - 2; y_B - 2) \Rightarrow \begin{cases} x_B - 2 = -3 \\ y_B - 2 = -1 \end{cases} \Rightarrow B(-1; 1)$

  • Tứ giác $CMPN$ là hình bình hành $\rightarrow \vec{PC} = \vec{PN} + \vec{PM} = (6; -4)$

    $$\vec{PN} = (3; -1), \quad \vec{PM} = (-3; 3) \rightarrow \text{Sửa tính toán đúng: } \vec{PC} = (3 - (-3); -1 - 3) = (6; -4)$$

    Mà $\vec{PC} = (x_C + 1; y_C - 3) \Rightarrow \begin{cases} x_C + 1 = 6 \\ y_C - 3 = -4 \end{cases} \Rightarrow C(5; -1)$

  • Có tọa độ 3 đỉnh $A, B, C$, tiến hành lập phương trình đường thẳng nối các cạnh tương tự Loại 1.

II. Cách viết phương trình các đường đặc trưng trong tam giác

Loại 5: Viết phương trình đường trung tuyến

• Phương pháp: Trung tuyến hạ từ đỉnh $A$ sẽ đi qua điểm $A$ và trung điểm $M$ của cạnh đối diện $BC$. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm:

  $$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}; \quad y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$$

• Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $A(3;-1), B(6;2), C(1;4)$. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.

• Lời giải:

  • Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tọa độ điểm $M$ là:

    $$x_M = \frac{6 + 1}{2} = \frac{7}{2}; \quad y_M = \frac{2 + 4}{2} = 3 \Rightarrow M\left(\frac{7}{2}; 3\right)$$

  • Phương trình tổng quát đường trung tuyến $AM$ đi qua hai điểm $A$ và $M$:

    $$\frac{x - 3}{\frac{7}{2} - 3} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)} \Leftrightarrow \frac{x - 3}{\frac{1}{2}} = \frac{y + 1}{4} \Leftrightarrow 4(x - 3) = \frac{1}{2}(y + 1) \Leftrightarrow 8x - y - 25 = 0$$

Loại 6: Viết phương trình đường cao

• Phương pháp: Đường cao hạ từ đỉnh $A$ vuông góc với cạnh $BC$ nên nhận luôn vectơ tự do $\vec{BC}$ làm vectơ pháp tuyến (VTPT).

• Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ biết $A(3;-1), B(6;2)$ và $C(1;4)$. Viết phương trình đường cao hạ từ đỉnh $A$.

• Lời giải:

  • Vectơ $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (1 - 6; 4 - 2) = (-5; 2)$.

  • Đường cao hạ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\vec{BC} = (-5; 2)$ làm VTPT. Phương trình đường cao đi qua $A(3;-1)$ là:

    $$-5(x - 3) + 2(y + 1) = 0 \Leftrightarrow -5x + 2y + 17 = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y - 17 = 0$$

Loại 7: Viết phương trình đường phân giác trong

• Phương pháp: * Phương trình hai đường phân giác (trong và ngoài) tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau $\Delta_1, \Delta_2$ tuân theo hệ thức khoảng cách:

  $$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

  • Để chọn đúng đường phân giác trong, ta xét hàm dấu $f(x;y) = Ax + By + C$. Nếu phân giác trong tách hai đỉnh còn lại về hai phía $\rightarrow f(B) \cdot f(C) < 0$.

• Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $A(0;2), B(1;2)$ và $C(3;6)$. Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$.

• Lời giải:

  • Lập phương trình các cạnh chứa góc $A$:

    • Cạnh $AB$ qua $A(0;2)$, có VTCP $\vec{AB} = (1;0) \rightarrow \vec{n}_{AB} = (0;1) \rightarrow \text{PT } AB: y - 2 = 0$.

    • Cạnh $AC$ qua $A(0;2)$, có VTCP $\vec{AC} = (3;4) \rightarrow \vec{n}_{AC} = (4;-3) \rightarrow \text{PT } AC: 4x - 3y + 6 = 0$.

  • Phương trình các đường phân giác góc $A$:

    $$\frac{|4x - 3y + 6|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|y - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} \Leftrightarrow |4x - 3y + 6| = 5|y - 2|$$
    $$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 4x - 3y + 6 = 5(y - 2) \\ 4x - 3y + 6 = -5(y - 2) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x - 2y + 4 = 0 \quad (d_1) \\ 2x + y - 2 = 0 \quad (d_2) \end{matrix}\right.$$

  • Kiểm tra vị trí hai điểm $B, C$ đối với đường thẳng $(d_1): x - 2y + 4 = 0$:

    Đặt $f_1(x;y) = x - 2y + 4$. Ta có:

    $$f_1(B) \cdot f_1(C) = (1 - 2 \cdot 2 + 4) \cdot (3 - 2 \cdot 6 + 4) = 1 \cdot (-5) = -5 < 0$$

    Vì tích dấu âm nên hai điểm $B$ và $C$ nằm khác phía so với đường thẳng $(d_1)$. Do đó, $(d_1)$ chính là đường phân giác trong cần tìm.

Kết luận: Phương trình đường phân giác trong góc $A$ của tam giác là $x - 2y + 4 = 0$.

III. Kết luận

Các bài toán lập phương trình đường thẳng trong tam giác đòi hỏi người học phải phối hợp chặt chẽ giữa kỹ năng tính toán tọa độ đại số và tư duy hình học phẳng. Việc phân loại rõ ràng các mô hình bài toán từ hệ trung điểm, đường cao cho đến hệ thức phân giác sẽ giúp quá trình giải toán luôn đi đúng hướng và tránh được các sai sót đáng tiếc.