Cách giải bất phương trình tích và bài tập vận dụng - Toán 10 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em quy trình các bước giải bất phương trình tích một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

I. Cách giải Bất phương trình tích

Để giải các bất phương trình tích có dạng:

$P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) \geq 0, P(x) \leq 0$,

trong đó $P(x)$ là tích của các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai, chúng ta thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Tìm nghiệm của tất cả các nhân tử có trong biểu thức $P(x)$.

• Bước 2: Sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu. 

• Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bất phương trình ban đầu để kết luận tập nghiệm.

II. Bài tập giải Bất phương trình tích minh họa

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau

a) $f(x) = (2x-1)(x+3) \leq 0$

• Lời giải:

  • Cho $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1/2$.

  • Cho $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$.

  • Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f(x) \leq 0$ khi $-3 \leq x \leq 1/2$.

Tập nghiệm: $S = [-3; 1/2]$.

b) $f(x) = (-3x-3)(x+2)(x+3) \geq 0$

• Lời giải:

  • Nghiệm của các nhị thức lần lượt là: $x = -1, x = -2, x = -3$.

  • Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f(x) \geq 0$ khi $x \leq -3$ hoặc $-2 \leq x \leq -1$.

Tập nghiệm: $S = (-\infty; -3] \cup [-2; -1]$.

c) $f(x) = 4x^2 - 1 > 0$

• Lời giải:

  • Phân tích: $f(x) = (2x + 1)(2x - 1)$.

  • Nghiệm: $x = -1/2$ và $x = 1/2$.

  • Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f(x) > 0$ khi $x < -1/2$ hoặc $x > 1/2$.

Tập nghiệm: $S = (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

III. Bài tập tự luyện

Để thành thạo kỹ năng lập bảng xét dấu, các em hãy tự thực hành với các bài tập sau:

Bài tập 2: Giải bất phương trình

1. $(3x^2 - 10x + 3)(4x - 5) > 0$

2. $(3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1) < 0$

3. $(4x^2 - 1)(-8x^2 + x - 3)(2x + 9) \geq 0$

4. $(2x - 3)(x + 5)(3x - 15) \leq 0$

Bài tập 3: Giải bất phương trình phân thức (Áp dụng quy tắc xét dấu tương tự tích)

1. $\frac{(3x^2-x)(3-x^2)}{4x^2+x-3} \geq 0$

2. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-9} \leq 0$