Bài 4.11 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc cùng phương pháp dựng hình phụ dễ hiểu nhất.

I. Đề bài tập 4.11 (SGK Toán 10 - Trang 58)

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

II. Phương pháp giải toán phân tích vectơ

Để biểu thị một vectơ trung tuyến hoặc vectơ nối từ đỉnh đến trung điểm một cạnh theo các vectơ cạnh bên, các em học sinh có thể áp dụng 1 trong 2 phương pháp sau:

• Cách 1 (Sử dụng quy tắc trung điểm): Với $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $A$ là một điểm bất kỳ, ta luôn có hệ thức quy đổi: $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)$.

• Cách 2 (Dựng hình phụ): Dựng điểm đối xứng để tạo thành hình bình hành mới nhận vectơ cần tính làm một phần của đường chéo, sau đó áp dụng quy tắc hình bình hành.

III. Lời giải chi tiết bài 4.11

Sau đây là các bước dựng hình phụ và biến đổi đại số chi tiết để phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$:

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

Bước 1: Dựng hình phụ và thiết lập hệ thức trung điểm

Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $E$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ (tức là $E$ đối xứng với $A$ qua tâm $M$).

• Xét tứ giác $ABEC$ có hai đường chéo $AE$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường. Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $ABEC$ là một hình bình hành.

• Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hai vectơ chung gốc $A$ trong hình bình hành $ABEC$, ta có:

  $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}$$

• Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nên vectơ đường chéo $\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AM}$. Thế vào đẳng thức trên ta thu được hệ thức trung điểm quen thuộc:

  $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \quad (1)$$

Bước 2: Biến đổi vectơ $\overrightarrow{AC}$ theo giả thiết hình bình hành $ABCD$

• Đề bài yêu cầu biểu thị kết quả cuối cùng hoàn toàn theo hai vectơ gốc là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. Nhìn vào hệ thức $(1)$, ta thấy đã xuất hiện $\overrightarrow{AB}$, nhiệm vụ còn lại là phải quy đổi vectơ $\overrightarrow{AC}$.

• Xét hình bình hành ban đầu $ABCD$, áp dụng trực tiếp quy tắc hình bình hành cho cặp vectơ chung gốc $A$, ta có ngay mối liên hệ đường chéo:

  $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \quad (2)$$

Bước 3: Thế vào biểu thức tổng hợp và rút gọn

• Tiến hành thế đẳng thức $(2)$ vào hệ thức $(1)$, ta thu được biểu thức phối hợp sau:

  $$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right)}{2}$$

• Cộng rút gọn các vectơ đồng dạng ở tử số:

  $$\overrightarrow{AM} = \frac{2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}}{2}$$

• Tách phân số ra thành các phần tử riêng biệt để có hệ số hằng số rõ ràng:

  $$\overrightarrow{AM} = \frac{2\overrightarrow{AB}}{2} + \frac{\overrightarrow{AD}}{2} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

Kết luận cuối cùng: Vectơ $\overrightarrow{AM}$ được biểu thị theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là:

IV. Mẹo giải nhanh không cần vẽ hình phụ (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để tăng tốc độ làm bài trong các kỳ thi trắc nghiệm, các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể áp dụng phương pháp chèn điểm liên tiếp như sau mà không cần mất thời gian dựng thêm điểm $E$:

Ta cần phân tích $\overrightarrow{AM}$. Sử dụng quy tắc cộng ba điểm để chèn điểm $B$ vào giữa:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$

Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên vectơ $\overrightarrow{BM}$ bằng một nửa vectơ cạnh $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Thế vào biểu thức:

$$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$

Mặt khác, theo tính chất hình bình hành $ABCD$ thì cặp vectơ cạnh đối luôn bằng nhau: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. Thay vào bước cuối ta được ngay kết quả:

$$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

V. Kết luận

Dạng toán biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương sẽ trở nên vô cùng đơn giản khi các em nắm vững quy tắc trung điểm kết hợp chèn điểm logic. Việc thành thạo kỹ năng này là tiền đề bắt buộc giúp các em xử lý tốt bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phần tiếp theo.