Bài 4.13 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, lập luận chặt chẽ kèm hình vẽ minh họa trực quan giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu.

I. Đề bài tập 4.13 (SGK Toán 10 - Trang 58)

Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

• a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$.

• b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có: $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.

II. Lời giải chi tiết bài 4.13

a) Xác định vị trí của điểm $K$

Để xác định vị trí của điểm $K$ nằm trên cấu trúc đoạn thẳng $AB$, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chèn điểm để rút gọn biểu thức về dạng một vectơ chỉ chứa điểm $K$ và các điểm cố định đã biết.

• Biến đổi đẳng thức:

  Theo giả thiết đề bài, ta có:

  $$\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$$

  Áp dụng quy tắc ba điểm, chèn điểm $A$ vào giữa vectơ $\overrightarrow{KB}$, ta được:

  $$\Leftrightarrow \overrightarrow{KA} + 2\left(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{0}$$
  $$\Leftrightarrow \overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$
  $$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$

• Chuyển vế và đổi dấu vectơ:

  $$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{AB}$$

  Ta đổi hướng vectơ đối: $3\overrightarrow{KA} = -3\overrightarrow{AK}$. Thay vào biểu thức:

  $$\Leftrightarrow -3\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

• Biện luận hình học:

  Đẳng thức $\overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ cho ta biết hai điều kiện:

  1. Vectơ $\overrightarrow{AK}$ và vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng (do hệ số $k = \frac{2}{3} > 0$). Điều này chứng tỏ điểm $K$ phải nằm trên đoạn thẳng $AB$.

  2. Độ dài đoạn thẳng $AK$ bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đoạn thẳng $AB$.

Kết luận: Điểm $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho đoạn $AB$ được chia làm 3 phần bằng nhau thì $AK$ chiếm 2 phần, còn $KB$ chiếm 1 phần.

b) Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$ với mọi điểm $O$

Để chứng minh đẳng thức vectơ này, chúng ta có thể áp dụng linh hoạt một trong hai cách biến đổi toán học sau đây:

Cách giải 1: Biến đổi vế phải (VP) thành vế trái (VT) - Khuyên dùng

Đây là phương pháp ngắn gọn nhất bằng cách tận dụng kết quả đã chứng minh được từ câu a.

• Xét vế phải (VP):

  $$\text{VP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$

• Chèn điểm $K$ vào các vectơ ở vế phải:

  Sử dụng quy tắc ba điểm, ta chèn điểm $K$ vào giữa vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:

  $$\text{VP} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}\right) + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}\right)$$

• Phân tích và nhóm các đại lượng đồng dạng:

  $$\text{VP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OK} + \frac{1}{3}\overrightarrow{KA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OK} + \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}$$
  $$\text{VP} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right) + \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right)$$
  $$\text{VP} = 1\cdot\overrightarrow{OK} + \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB}\right)$$

• Theo chứng minh ở câu a, ta có $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$. Thế vào biểu thức ta được:

  $$\text{VP} = \overrightarrow{OK} + \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{OK} = \text{VT (Đpcm)}$$

Cách giải 2: Biến đổi vế trái (VT) thành vế phải (VP)

Cách giải này phù hợp cho việc rèn luyện tư duy phân tích tách chuỗi liên tiếp từ một vectơ gốc ban đầu qua điểm trung gian.

• Xét vế trái (VT):

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OK}$$

• Chèn điểm $A$ và áp dụng kết quả câu a ($\overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$):

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

• Tiếp tục chèn điểm $O$ vào vectơ $\overrightarrow{AB}$ ở vế phải:

  Áp dụng quy tắc hiệu (hoặc quy tắc chèn điểm $O$ vào giữa): $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. Thay vào hệ thức:

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\right)$$

• Khai triển và rút gọn đại số:

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$$
  $$\text{VT} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \text{VP (Đpcm)}$$

III. Kiến thức mở rộng: Hệ thức tâm tỷ cự lớp 10

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể làm nhanh các bài toán cực trị hoặc trắc nghiệm không gian vectơ, bài tập 4.13 chính là một dạng phát biểu của Định lý tâm tỷ cự đối với hệ hai điểm:

Cho hai điểm $A, B$ cố định và hai hằng số $\alpha, \beta$ thỏa mãn $\alpha + \beta \neq 0$. Nếu điểm $K$ thỏa mãn đẳng thức $\alpha\overrightarrow{KA} + \beta\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$ thì với mọi điểm $O$ bất kỳ trong mặt phẳng, ta luôn luôn có hệ thức quy đổi:

$$\overrightarrow{OK} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\overrightarrow{OA} + \frac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{OB}$$

Áp dụng vào bài toán: Với $\alpha = 1, \beta = 2 \Rightarrow \alpha + \beta = 3$. Hệ thức lập tức trở thành: $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$. Việc ghi nhớ công thức tổng quát này giúp các em tiết kiệm rất nhiều thời gian khi làm các câu hỏi trắc nghiệm nâng cao!

IV. Kết luận

Mấu chốt để giải quyết trọn vẹn bài tập 4.13 nằm ở kỹ năng chèn điểm linh hoạt. Khi đã xác định được mối liên hệ hình học của điểm $K$ cố định ở câu a, việc chứng minh hệ thức liên quan đến gốc $O$ di động ở câu b sẽ trở nên vô cùng đơn giản.