Bài 9.4 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.4 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$, AB = 2MN. Chứng minh ∆MNP ∽∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

Phân tích bài toán

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa (các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ) hoặc sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác.

• Về góc: Hai tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau thì các góc ở đáy cũng sẽ bằng nhau.

• Về cạnh: Đề bài cho mối quan hệ $AB = 2MN$, đây là gợi ý quan trọng để xác định tỉ số đồng dạng.

• Phương pháp: Ta có thể dựng một tam giác trung gian $\Delta AB'C'$ bằng cách lấy trung điểm các cạnh của $\Delta ABC$ để dễ dàng so sánh với $\Delta MNP$.

Giải Bài 9.4 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa sau:

Bước 1: Chứng minh các góc ở đáy bằng nhau

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên:

Tương tự, tam giác $MNP$ cân tại $M$ nên:

Theo giả thiết $\widehat{BAC} = \widehat{PMN}$, từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{ABC} = \widehat{MNP}$ và $\widehat{ACB} = \widehat{MPN}$.

Bước 2: Dựng tam giác trung gian

Lấy $B', C'$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

• Vì $B'C'$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $B'C' \parallel BC$.

• Suy ra $\Delta AB'C' \backsim \Delta ABC$ (theo định lý về tam giác đồng dạng).

Bước 3: Chứng minh $\Delta MNP = \Delta AB'C'$

Xét hai tam giác $AB'C'$ và $MNP$ có:

• $\widehat{B'AC'} = \widehat{NMP}$ (theo giả thiết).

• $AB' = \frac{AB}{2} = MN$ (vì $B'$ là trung điểm $AB$ và $AB = 2MN$).

• $\widehat{AB'C'} = \widehat{ABC} = \widehat{MNP}$ (chứng minh ở bước 1).

  $\Rightarrow \Delta MNP = \Delta AB'C'$ (g.c.g).

Bước 4: Kết luận

Vì $\Delta MNP = \Delta AB'C'$ nên $\Delta MNP \backsim \Delta AB'C'$.

Mà $\Delta AB'C' \backsim \Delta ABC$ (chứng minh ở bước 2).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn đỉnh tương ứng: Khi viết tỉ số đồng dạng $k = \frac{MN}{AB}$, nhiều bạn viết ngược thành $k = 2$. Hãy nhớ tỉ số đồng dạng $k = \frac{\text{cạnh tam giác viết trước}}{\text{cạnh tam giác viết sau}}$.

• Chưa chứng minh góc ở đáy: Nhiều học sinh mặc định hai tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau thì đồng dạng luôn mà không trình bày bước biến đổi qua tổng $180^\circ$ của tam giác.

• Quên tính chất đường trung bình: Khi sử dụng điểm $B', C'$, cần nêu rõ tại sao $B'C' \parallel BC$ để suy ra tính chất đồng dạng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, bạn có thể áp dụng quy tắc:

Hai tam giác cân chỉ cần có một cặp góc tương ứng bằng nhau (góc ở đỉnh hoặc góc ở đáy) thì chúng luôn đồng dạng với nhau.

Khi đó, tỉ số đồng dạng $k$ đơn giản là tỉ số giữa hai cạnh bên tương ứng hoặc hai cạnh đáy tương ứng.

Ở bài này: $k = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}$.

Theo tính chất bắc cầu: $\Delta MNP \backsim \Delta ABC$.

Tỉ số đồng dạng: