Bài 9.3 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.3 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong Hình 9.9, ABC là tam giác không cân; M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Phân tích bài toán

Điểm mấu chốt của bài toán này nằm ở định lý về đường trung bình của tam giác:

• Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

• Hệ quả: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ ba sẽ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Bằng cách xét các đường trung bình $PN, MP, MN$, chúng ta sẽ xác định được các tam giác đồng dạng với $\Delta ABC$, từ đó suy ra tính chất đồng dạng bắc cầu giữa chúng.

Giải bài 9.3 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Dựa vào các tính chất của đường trung bình trong $\Delta ABC$, ta có các khẳng định sau:

• Trường hợp 1: Vì $P, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$ nên $PN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$. Suy ra $PN \parallel BC$.

  $\Rightarrow \Delta APN \backsim \Delta ABC$.

• Trường hợp 2: Vì $P, M$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$ nên $PM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$. Suy ra $PM \parallel AC$.

  $\Rightarrow \Delta PBM \backsim \Delta ABC$.

• Trường hợp 3: Vì $N, M$ lần lượt là trung điểm của $AC, BC$ nên $NM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$. Suy ra $NM \parallel AB$.

  $\Rightarrow \Delta NMC \backsim \Delta ABC$.

• Trường hợp 4: Từ ba khẳng định trên, theo tính chất bắc cầu, các tam giác con này cũng đồng dạng với nhau:

  $\Delta APN \backsim \Delta PBM$ và $\Delta PBM \backsim \Delta NMC$.

• Trường hợp 5: Xét $\Delta APN$ và $\Delta MNP$:

  Ta có $PN$ là cạnh chung; $\widehat{APN} = \widehat{MNP}$ và $\widehat{ANP} = \widehat{MPN}$ (do các cặp góc ở vị trí so le trong vì $PN \parallel BC$ và $PM \parallel AC$).

  Do đó $\Delta APN = \Delta MNP$ (g.c.g). Mà hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

  $\Rightarrow \Delta MNP \backsim \Delta APN$.

Kết luận: Năm tam giác $\Delta ABC, \Delta APN, \Delta PBM, \Delta NMC, \Delta MNP$ đôi một đồng dạng với nhau.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Viết sai thứ tự đỉnh: Đây là lỗi phổ biến nhất. Ví dụ, viết $\Delta PBM \backsim \Delta ABC$ thay vì $\Delta PBM \backsim \Delta ABC$ (đỉnh $P$ tương ứng với $A$, $B$ tương ứng với $B$, $M$ tương ứng với $C$). Hãy kiểm tra các cặp góc tương ứng bằng nhau để viết đúng ký hiệu.

• Thiếu tam giác ở giữa: Nhiều bạn chỉ tìm được 4 tam giác ở các góc mà quên mất tam giác tạo bởi 3 đường trung bình là $\Delta MNP$.

• Nhầm lẫn giữa bằng nhau và đồng dạng: Khi chứng minh $\Delta MNP$ đồng dạng, hãy nhớ rằng hai tam giác bằng nhau luôn là trường hợp đặc biệt của đồng dạng với tỉ số $k = 1$.

Mẹo giải nhanh

Để nhớ nhanh kết quả của bài toán này, bạn hãy nhớ quy tắc "Bốn tam giác con":

1. Ba đường trung bình chia tam giác lớn thành 4 tam giác con bằng nhau ($\Delta APN, \Delta PBM, \Delta NMC, \Delta MNP$).

2. Vì 4 tam giác này bằng nhau nên chúng hiển nhiên đồng dạng với nhau.

3. Cả 4 tam giác này đều đồng dạng với tam giác lớn ban đầu ($\Delta ABC$) với tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{2}$.