Bài 9.33 trang 109 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.33 trang 109 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4 cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB tại P.

a) Chứng minh rằng ΔBMP ∽ ΔMCN. 

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Phân tích và Hướng dẫn giải

• Nhận xét tam giác ABC: Ba cạnh $6, 8, 10$ thỏa mãn định lý Pythagore đảo ($6^2 + 8^2 = 10^2$), do đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

• Mối quan hệ song song: Vì $MP \perp AB$ và $AC \perp AB$ nên $MP \parallel AC$. Tương tự, $MN \parallel AB$.

• Chứng minh đồng dạng: Sử dụng trường hợp đồng dạng Góc - Góc (g.g) cho hai tam giác vuông $BMP$ và $MCN$.

• Tính AM: Để tính $AM$, ta cần tính độ dài các cạnh của tam giác vuông $APM$ (hoặc sử dụng tọa độ/hình chiếu). Cách đơn giản nhất là tìm $AP$ và $MP$ thông qua các tam giác đồng dạng.

Giải Bài 9.33 trang 109 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Vì BM = 4 cm; BC = 10 cm nên MC = 6 cm.

Ta thấy 6² + 8² = 10² = 100 hay AB² + AC² = BC² nên tam giác ABC vuông tại A.

Lại có MN // AB (cùng vuông góc với AC) và MP // AC (cùng vuông góc với AB).

Tam giác BMP vuông tại P và tam giác MCN vuông tại N có:

$\widehat{BMP}=\widehat{MCN}$ (MP // AC và hai góc ở vị trí đồng vị)

⇒ ∆BMP ∽ ∆MCN (đpcm).

b) Tam giác BMP vuông tại P và tam giác BCA vuông tại A có góc B chung

⇒ ∆BMP ∽ ∆BCA.

Suy ra $\frac{BP}{AB}=\frac{MP}{AC}$ $=\frac{BM}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Nên có: $BP=\frac{2AB}{5}=\frac{2.6}{5}=\frac{12}{5}$ (cm)

$MP=\frac{2CA}{5}=\frac{2.8}{5}=\frac{16}{5}$ (cm)

⇒ AP = AB – BP = 6 – 12/5 = 18/5 (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông APM:

AM² = AP² + MP²

$=\left (\frac{18}{5} \right )^2+\left ( \frac{16}{5} \right )^2=\frac{580}{25}$

Suy ra: $AM=\sqrt{\frac{580}{25}}=\frac{2\sqrt{145}}{5}$ (cm)