Hotline 0936685849

Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian oxyz và bài tập - Toán lớp 12

21:56:3027/02/2019

Chào các em! Phương trình đường thẳng trong không gian $O x yz$ là một chuyên đề trọng tâm của chương trình Toán lớp 12, đồng thời cũng là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Để giúp các em tự tin chinh phục dạng bài này, bài viết dưới đây sẽ hệ thống hóa lý thuyết, công thức và các dạng bài tập phổ biến một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

Vì vậy để các bạn học sinh lớp 12 nắm rõ phần nội dung kiến thức này, trong bài viết này chúng ta cùng tổng hợp lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, giải một số ví dụ và bài tập một cách chi tiết và dễ hiểu để các em tự tin khi gặp các dạng toán này.

• xem thêm: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian

I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

* Đường thẳng (d) đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) có:

- Phương trình tham số của (d): $small left{egin{matrix} x=x_{o}+at y=y_{o}+bt z=z_{o}+ct end{matrix} ight.;(tin mathbb{R})$

- Phương trình chính tắc của (d): $small g_white fn_cm small frac{x-x_{o}}{a}=frac{y-y_{o}}{b}=frac{z-z_{o}}{c};(a,b,c eq 0)$

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

* Cho đường thẳng d₀ đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương small vec{u} ₀ = (a;b;c) và đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(x₁;y₁;z₁) và có vectơ chỉ phương ₁ = (a₁;b₁;c₁) khi đó:

- d₀ và d₁ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ $small g_white fn_cm small g_white fn_cm small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}}=0$

- d₀ và d₁ cắt nhau ⇔ $small small left{egin{matrix} [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}}=0 [vec{u}_{o},vec{u}_{1}] eq vec{0}end{matrix} ight.$

- d₀ // d₁ ⇔ $small small left{egin{matrix} [vec{u}_{o},vec{u}_{1}]=vec{0} [vec{u}_{o},.overrightarrow{M_{o}M_{1}}] eq vec{0} end{matrix} ight.$

- d₀ Ξ d₁ ⇔ $small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}]= [vec{u}_{o},.overrightarrow{M_{o}M_{1}}]=vec{0}$

- d₀ và d₁ chéo nhau ⇔ $small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}} eq 0$

3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

* Đường thẳng (d) đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến small small vec{n} = (A;B;C) khi đó:

- d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0

- d//(P) ⇔ $small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D eq 0 end{matrix} ight.$

- d ⊂ (P) ⇔ $small small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D=0 end{matrix} ight.$

- d ⊥ (P) ⇔ small vec{u} // small small vec{n} ⇔ $small g_white fn_cm small [vec{u},vec{n}]= vec{0}$

4. Góc giữa 2 đường thẳng

- Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và (d') có vectơ chỉ phương = (a';b';c'), gọi 0⁰ ≤ ∝ ≤ 90⁰ là góc giữa 2 đường thẳng đó, ta có:

cos∝ = $small frac{left | vec{u}.vec{u}' ight |}{left | vec{u} ight |.left | vec{u}' ight |}=frac{left | aa'+bb'+cc' ight |}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.sqrt{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}}$

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến small vec{n}=(A;B;C) , gọi 0⁰ ≤ φ ≤ 90⁰ là góc giữa đường thẳng (d) và mp (P), ta có:

sinφ = $small frac{left | vec{u}.vec{n} ight |}{left | vec{u} ight |.left | vec{n} ight |}=frac{left | Aa+Bb+Cc ight |}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Tính khoảng cách từ điểm M₁(x₁;y₁;z₁) tới đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương small vec{u} :

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M₁ và vuông góc với Δ.

- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).

- Khi đó: d(M₁,Δ) = M₁H

* Cách tính 2:

- Sử dụng công thức: d(M₁,Δ) = $small frac{left | [overrightarrow{M_{1}M_{0}},vec{u}] ight |}{left | vec{u} ight |}$ (với M₀∈Δ)

7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Cho đường thẳng Δ₀ đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương small vec{u} ₀ = (a;b;c) và đường thẳng Δ₁ đi qua điểm M₁(x₁;y₁;z₁) và có vectơ chỉ phương ₁ = (a₁;b₁;c₁):

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa (Δ) và song song với (Δ₁).

- Tính khoảng cách từ M₀M₁ tới mặt phẳng (Q).

- d(Δ₀,Δ₁) = d(M₁,Q)

* Cách tính 2:

- Sử dụng công thức: $\small d(\Delta _0,\Delta _1)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_0},\overrightarrow{u_1}].\overrightarrow{M_0M_1} \right |}{\left | [\overrightarrow{u_0},\overrightarrow{u_1}] \right |}$

II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian

Dạng 1: Viết PT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP

- Điểm M₀(x₀;y₀;z₀), VTCP small vec{u} ₀ = (a;b;c)

* Phương pháp:

- Phương trình tham số của (d) là: $small left{egin{matrix} x=x_{o}+at y=y_{o}+bt z=z_{o}+ct end{matrix} ight.;(tin mathbb{R})$

- Nếu a.b.c ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là: $small g_white fn_cm small frac{x-x_{o}}{a}=frac{y-y_{o}}{b}=frac{z-z_{o}}{c};(a,b,c eq 0)$

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ small vec{u} (1;2;3) làm vec tơ chỉ phương

* Lời giải:

- Phương trình tham số của (d) là: small left{egin{matrix} x=1+t y=2+2t z=-1+3t end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTCP small overrightarrow{AB}

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small overrightarrow{AB} làm VTCP.

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);

* Lời giải:

- Ta có: small overrightarrow{AB} (-2;-1;3)

- Vậy PTĐT (d) đi qua A có VTCP là small overrightarrow{AB} có PT tham số: small left{egin{matrix} x=1-2t y=2-t z=3t end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B trong không gian Oxyz

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTCP small vec{u} của Δ.

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small vec{u} làm VTCP.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ: $small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{1}$

* Lời giải:

- VTCP $small overrightarrow{u_{Delta }}=(2;4;1)$ vì (d)//Δ nên nhận $small overrightarrow{u_{Delta }}=(2;4;1)$ làm VTCP

- Phương trình tham số của (d): small left{egin{matrix} x=2+2t y=1+4t z=-3+t end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTPT small vec{n} của mp (∝)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small vec{n} làm VTCP.

Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0

* Lời giải:

- Ta có VTPT của mp (P): small vec{n} = (1;-1;-1) là VTCP của đường thẳng (d).

- PT đường thẳng (d) qua A và nhận small vec{n} làm VTCP có PT tham số là: small left{egin{matrix} x=1+t y=1-t z=-2-t end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng trong Oxyz

Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d₁), (d₂).

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTCP $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ của (d₁) và (d₂).

- Bước 2: Đường thẳng (d) có VTCP là: =[ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận small vec{u} làm VTCP.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d₁: small left{egin{matrix} x=2-3t y=3+t z=-1+2t end{matrix}
ight. và d₂: $small dpi{100} g_white fn_cm small dpi{100} g_white fn_cm small frac{x+1}{2}=frac{y}{5}=frac{z+3}{3}$

* Lời giải:

- Ta có VTCP của d₁ là $small vec{u}_{1}$ = (-3;1;2) của d₂ là $small vec{u}_{2}$ = (2;5;3)

- d ⊥ d₁ và d ⊥ d₂ nên VTCP của d là: = [ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

= $small dpi{100} g_white fn_cm small left ( egin{vmatrix} 1 &2 5&3 end{vmatrix}; egin{vmatrix} 2 &-3 3&2 end{vmatrix}; egin{vmatrix} -3 &1 2&5 end{vmatrix} ight )$ = (-7;13;-17)

- Phương trình tham số của (d) là: small left{egin{matrix} x=1-7t y=-3+13t z=2-17t end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp

- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0;

* Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Giải hệ small left{egin{matrix} Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0 end{matrix}
ight. ta tìm 1 nghiệm (x₀;y₀;z₀) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm giá trị 2 ẩn còn lại, ta được 1 điểm M₀(x₀;y₀;z₀) ∈ (d).

- Bước 2: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: small vec{u} = small left ( egin{vmatrix} b &c b'&c' end{vmatrix}; egin{vmatrix} c &a c'&a' end{vmatrix}; egin{vmatrix} a &b a'&b' end{vmatrix}
ight )

- Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) qua M₀ và có VTCP small vec{u} .

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ Cách giải 3:

- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.

* Lời giải:

- Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ PT: small left{egin{matrix} 2x+y-z-3=0 x+y+z-1=0 end{matrix}
ight.

- Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ A(2;-1;0)

- Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = - 4 ⇒ B(4;-4;1)

⇒ small overrightarrow{AB}=(2;-3;1)

⇒ PTĐT (d) đi qua A(2;-1;0) và có VTCP small overrightarrow{AB}=(2;-3;1) có PTCT là: $small frac{x-2}{2}=frac{y+1}{-3}=frac{z}{1}$

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

* Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).

- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)

- Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: small left{egin{matrix} x-2z=0 3x-2y+z-3=0 end{matrix}
ight. trên mp(P): x - 2y + z + 5 = 0.

* Lời giải:

- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0

Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0

Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d' là giao tuyến của P và Q, phương trình của d’ sẽ là:

small left{egin{matrix} x-2y+z+5=0 11x-2y-15z-3=0 end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz

Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d₁, d₂

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d₂)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁

- Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₂.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)

+ Cách giải 3:

- Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d₁ và C của d với d₂

- Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

- Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d₁: small left{egin{matrix} x=1+t y=-t z=0 end{matrix}
ight. và d₂ : small left{egin{matrix} x=0 y=0 z=2+s end{matrix}
ight.

* Lời giải:

- Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d₁ và d₂, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

⇒ small overrightarrow{AB} =(t;-t-1;0) ; $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{AC}$ =(-1;-1;2+s)

A,B,C thẳng hàng ⇒ small overrightarrow{AB} = k $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{AC}$ ⇔ small left{egin{matrix} t=k(-1) -t-1=k(-1) 0=k(2+s) end{matrix}
ight. giải hệ được s = -2; t= -1/2; k = 1/2;

Vậy d đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) ⇒ d có PT: small left{egin{matrix} x=t' y=t' z=0 end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d₁ và cắt cả hai đường thẳng d₂ và d₃.

* Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d₁ và chứa d₂.

- Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d₁ và chứa d₃.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d₁), (d₂) có PT:

d₁: $small frac{x+8}{2}=frac{y-6}{1}=frac{z-10}{-1}$ ; d₂: small left{egin{matrix} x=t y=2-t z=-4+2t end{matrix}
ight.

* Lời giải:

- VTCP của Ox là: small overrightarrow{u} = (1;0;0)

- VTCP của d₁ là: $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{u_{1}}$ =(2;1;-1); VTCP của d₂ là: $small dpi{100} g_white fn_cm small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{u_{2}}$ =(1;-1;2)

- PT mp (P) chứa d₁ và song song Ox có VTPT: $small overrightarrow{n_{1}}=[overrightarrow{u},overrightarrow{u_{1}}]$

= small left ( left | egin{matrix} 0 &0 1& -1 end{matrix}
ight |;left | egin{matrix} 0 &1 -1 &2 end{matrix}
ight |;left | egin{matrix} 1 &0 2 &1 end{matrix}
ight |
ight ) =(0;1;1)

- PT mp (Q) chứa d2 và song song Ox có VTPT: $small overrightarrow{n_{2}}=[overrightarrow{u},overrightarrow{u_{2}}]$

= small small left ( left | egin{matrix} 0 &0 -1& 2 end{matrix}
ight |;left | egin{matrix} 0 &1 2 &1 end{matrix}
ight |;left | egin{matrix} 1 &0 1 &-1 end{matrix}
ight |
ight ) =(0;-2;-1)

- PT mp (P) đi qua điểm (-8;6;10) ∈ d₁ và có VTPT $small overrightarrow{n_{1}}$ (0;1;1) có PT:

(y-6) + (z-10) = 0 ⇔ y + z - 16 = 0

- PT mp (Q) đi qua điểm (0;2;-4) ∈ d₂ và có VTPT $small overrightarrow{n_{2}}$ (0;-2;-1) có PT:

-2(y-2) - (z+4) = 0 ⇔ 2y + z = 0

⇒ PT đường thẳng d = (P) ∩ (Q): small left{egin{matrix} y+z-16=0 2y+z=0 end{matrix}
ight.

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt d₁ d₂ trong Oxyz

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d₁.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d₂)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d₁.

- Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d₂.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng d₁: $small frac{x+2}{3}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-2}$ và vuông góc với đường thẳng d₂: x=-2+2t; y=-5t; z=2+t;

* Lời giải:

- PT mp (P) ⊥ d₂ nên nhận VTCP d₂ làm VTPT nên có PT: 2x - 5y + z + D = 0

- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2

⇒ PT mp (P): 2x - 5y + z + 2 = 0

- Toạ độ giao điểm A của d₁ và mp(P) là: (-5;-1;3)

⇒ small overrightarrow{AM} = (6;2;-2) = (3;1;-1)

⇒ PTTQ của (d) là: $small frac{x-1}{3}=frac{y-1}{1}=frac{z-1}{-1}$

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d₁ cắt d₂ trong Oxyz

Dạng 11: Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’

* Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).

- Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;2;-1) cắt đường thẳng d: $small frac{x-3}{1}=frac{y-3}{3}=frac{z}{2}$ và song song với mặt phẳng (∝): x + y - z + 3 = 0.

* Lời giải:

- PTTS của (d): small left{egin{matrix} x=3+t y=3+3t z=2t end{matrix}
ight.

- Giả sử Δ cắt d tại điểm B, thì tọa độ của B(3+t;3+3t;2t) nên ta có: small overrightarrow{AB}=(2+t;1+3t;2t+1)

- Vì AB// mp(∝) mà $small overrightarrow{n_{alpha }}=(1;1;-1)$ nên ta có: $small overrightarrow{AB}.overrightarrow{n_{alpha }}=(2+t).1+(1+3t).1+(2t+1)(-1)=0$ small Leftrightarrow 2+t+1+3t-2t-1=0Leftrightarrow t=-1

⇒ B(2;0;-2) small Rightarrow overrightarrow{AB}=(1;-2;-1) nên đường thẳng Δ có PTTQ: $small frac{x-1}{1}=frac{y-2}{-2}=frac{z+1}{-1}$

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và cắt đường thẳng d

Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ cho trước .

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm giao điểm A = d₁∩(P); B = d₂∩(P)

- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: $small d_{1}:frac{x+1}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z-1}{1};$ $small d_{2}:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d₁ , d₂;

* Lời giải:

- PTTS d₁: small left{egin{matrix} x=-1+2t y=1-t z=1+t end{matrix}
ight. PTTS d₂: small left{egin{matrix} x=1+s y=2+s z=-1+2s end{matrix}
ight.

- Gọi A = d₁∩(P); B = d₂∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)

- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)

- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)

⇒ small overrightarrow{AB}=(1;3;-1)

⇒ PTĐT Δ qua A(1;0;2) có VTCP small overrightarrow{AB} có PTTQ là: $small frac{x-1}{1}=frac{y}{3}=frac{z+1}{-1}$

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm giao điểm I = d’∩(P).

- Bước 2: Tìm VTCP small vec{u} của d’ và VTPT small vec{n} của (P) và small vec{v} =[,]

- Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP small vec{v}

Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂.

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Tìm các VTCP $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ của d₁ và d₂ . Khi đó đường thẳng d có VTCP là =[ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 2: Viết PT mp(P) chứa d₁ và có VTPT $small small vec{n}_{1}$ =[ small vec{u} , $small vec{u}_{1}$ ]

- Bước 3: Viết PT mp(Q) chứa d₂ và có VTPT $small small vec{n}_{1}$ =[ small vec{u} , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).

* Cách giải 2:

- Bước 1: Gọi M(x₀+at; y₀+bt; z₀+ct) ∈ d₁; N(x₀'+a’t’; y₀’+b’t’; z₀’+c’t’) ∈ d₂ là chân các đường vuông góc chung của d₁ và d₂.

- Bước 2: Ta có $small left{egin{matrix} MNperp d_{1} MNperp d_{2} end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} overrightarrow{MN}.overrightarrow{u_{1}}=0 overrightarrow{MN}.overrightarrow{u_{2}}=0 end{matrix} ight.Rightarrow t,t'$

- Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

- Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d₁: small left{egin{matrix} x=1+2t y=2+t z=-3+3t end{matrix}
ight. và d₂: small left{egin{matrix} x=2+t' y=-3+2t' z=1+3t' end{matrix}
ight. viết PT đường thẳng (d) vuông góc với d₁ và d₂

* Lời giải:

- d₁ có VTCP $small vec{u}_{1}$ = (2;1;3); d₂ có VTCP $small vec{u}_{2}$ = (1;2;3)

- Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d₁ và d₂ với A ∈ d₁; B ∈ d₂

⇒ A(1+2t;2+t;-3-3t) và B(2+t';-3+2t';1+3t')

⇒ small overrightarrow{AB} =(1+t'-2t;-5+2t'-t;4+3t'+3t)

Từ điều kiện $small small overrightarrow{AB}perp d_{1}$ và $small small overrightarrow{AB}perp d_{2}$ ta có: $small left{egin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_{1}}=0 overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_{2}}=0 end{matrix} ight.$

⇔ small left{egin{matrix} 2(1+t'-2t)+(-5+2t'-t)+3(4+3t'+3t)=0 (1+t'-2t)+2(-5+2t'-t)+3(4+3t'+3t')=0 end{matrix}
ight.

⇔ $small left{egin{matrix} t=frac{29}{9} t'=frac{25}{9} end{matrix} ight.$ ⇒ $small A(frac{67}{9};frac{47}{9};frac{20}{3}); overrightarrow{AB}(frac{-24}{9};frac{-24}{9};frac{24}{9})$

⇒ PT (d) đi qua A nhận small overrightarrow{AB} (-1;-1;1) làm VTCP có dạng: $small left{egin{matrix} x=frac{67}{9}-t y=frac{47}{9}-t z=frac{20}{3}+t end{matrix} ight.$

• Xem thêm: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d₁ và d₂.

* Phương pháp 1:

- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d₁ và vuông góc với (P).

- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d₂ và vuông góc với (P).

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).

* Phương pháp 2:

- Bước 1: Giả sử d cắt d₁ và d₂ là lượt tai A và B, ta tham số hóa 2 điểm A ∈ d₁ và B ∈ d₂(theo ẩn t và s).

- Bước 2: Do (d) ⊥ (P) nên $\small \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}_P\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{n}_P$ giải hệ tìm được t và s

- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có CTCP $\dpi{100} \small \overrightarrow{AB}$ .

Ví dụ: Trong không gian oxyz, cho 2 đường thẳng: $small dpi{100} fn_cm small d_{1}: frac{x}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{1};$ $small d_{2}: left{egin{matrix} x=-1+2t y=1+t z=3 end{matrix} ight. tin mathbb{R}$ , và mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và cắt đường thẳng d₁ , d₂.

* Lời giải:

- PTTS của d₁: small left{egin{matrix} x=2s y=1-s z=-2+s end{matrix}
ight.

- Giả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d₁ và d₂ ta có: A(2s;1-s;-2+s), B(-1+2t;1+t;3)

- VTCP của Δ là: small overrightarrow{AB} small =(-1+2t-2s;t+s;5-s)

- VTPT của (P) là: $small overrightarrow{n_{p}}=(7;1;-4)$

- do Δ ⊥ (P) nên small overrightarrow{AB} // $small overrightarrow{n_{p}}$ , tức ta có: $small frac{2t-2s-1}{7}=frac{t+s}{1}=frac{5-s}{-4}$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2t-2s-1=7t+7s 4(t+s)=s-5 end{matrix} ight.$ small Leftrightarrow left{egin{matrix} t=-2 s=1 end{matrix}
ight. small Rightarrow overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)

⇒ Phương trình đường thẳng Δ qua A(2;0;-1) có VTCP small overrightarrow{AB} có PTTQ là: $small dpi{100} fn_cm small frac{x-2}{-7}=frac{y}{-1}=frac{z+1}{4}$

• Xem thêm: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

* Phương pháp:

- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.

Bài viết này đã hệ thống hóa các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian $O x yz$ , từ các dạng cơ bản đến nâng cao. Nắm vững các khái niệm về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, các công thức và phương pháp giải sẽ giúp các em tự tin giải quyết mọi bài toán. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ kiến thức này nhé!