Bài 5.7 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước, lập luận mạch lạc giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.7 (SGK Toán 10 - Trang 82)

Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

• a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: $9; \quad 8; \quad 15; \quad 8; \quad 20$.

• b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): $350; \quad 300; \quad 650; \quad 300; \quad 450; \quad 500; \quad 300; \quad 250$.

• c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: $36; \quad 38; \quad 33; \quad 34; \quad 32; \quad 30; \quad 34; \quad 35$.

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

1. Số trung bình ($\bar{x}$): Bằng tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng phần tử $n$.

2. Trung vị ($M_e$): Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

   • Nếu $n$ lẻ: Trung vị là giá trị ở chính giữa (vị trí thứ $\frac{n+1}{2}$).

   • Nếu $n$ chẵn: Trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa (vị trí thứ $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2} + 1$).

3. Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$): * Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là Trung vị ($M_e$).

   • Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).

   • Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).

4. Mốt ($M_o$): Là giá trị có tần suất xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.7

a) Số điểm ghi được của năm vận động viên bóng rổ

Mẫu số liệu gốc gồm $n = 5$ phần tử (số lẻ): $9; \quad 8; \quad 15; \quad 8; \quad 20$.

• Số trung bình ($\bar{x}$):

  $$\bar{x} = \frac{9 + 8 + 15 + 8 + 20}{5} = \frac{60}{5} = 12$$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

  $$8; \quad 8; \quad 9; \quad 15; \quad 20$$

• Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$):

  Vì mẫu có $n = 5$ là số lẻ, giá trị ở chính giữa là số hạng thứ 3.

  $$\Rightarrow M_e = Q_2 = 9$$

• Tìm các Tứ phân vị còn lại ($Q_1, Q_3$):

  • Nửa bên trái $Q_2$ gồm hai số liệu: $8; \quad 8$. Trung vị của nửa này là: $Q_1 = \frac{8+8}{2} = 8$.

  • Nửa bên phải $Q_2$ gồm hai số liệu: $15; \quad 20$. Trung vị của nửa này là: $Q_3 = \frac{15+20}{2} = 17,5$.

• Mốt ($M_o$):

  Giá trị $8$ xuất hiện 2 lần (nhiều nhất trong mẫu). $\Rightarrow M_o = 8$.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng)

Mẫu số liệu gồm $n = 8$ phần tử (số chẵn): $350; \quad 300; \quad 650; \quad 300; \quad 450; \quad 500; \quad 300; \quad 250$.

• Số trung bình ($\bar{x}$):

  $$\bar{x} = \frac{350 + 300 + 650 + 300 + 450 + 500 + 300 + 250}{8} = \frac{3100}{8} = 387,5$$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

  $$250; \quad 300; \quad 300; \quad 300; \quad 350; \quad 450; \quad 500; \quad 650$$

• Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$):

  Vì mẫu có $n = 8$ là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 4 ($300$) và thứ 5 ($350$).

  $$\Rightarrow M_e = Q_2 = \frac{300 + 350}{2} = 325$$

• Tìm các Tứ phân vị còn lại ($Q_1, Q_3$):

  • Nửa bên trái $Q_2$ gồm bốn số liệu: $250; \quad 300; \quad 300; \quad 300$. Trung vị của nửa này là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: $Q_1 = \frac{300+300}{2} = 300$.

  • Nửa bên phải $Q_2$ gồm bốn số liệu: $350; \quad 450; \quad 500; \quad 650$. Trung vị của nửa này là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: $Q_3 = \frac{450+500}{2} = 475$.

• Mốt ($M_o$):

  Giá trị $300$ xuất hiện 3 lần (nhiều nhất trong mẫu). $\Rightarrow M_o = 300$.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp

Mẫu số liệu gồm $n = 8$ phần tử (số chẵn): $36; \quad 38; \quad 33; \quad 34; \quad 32; \quad 30; \quad 34; \quad 35$.

• Số trung bình ($\bar{x}$):

  $$\bar{x} = \frac{36 + 38 + 33 + 34 + 32 + 30 + 34 + 35}{8} = \frac{272}{8} = 34$$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

  $$30; \quad 32; \quad 33; \quad 34; \quad 34; \quad 35; \quad 36; \quad 38$$

• Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$):

  Vì mẫu có $n = 8$ là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 4 ($34$) và thứ 5 ($34$).

  $$\Rightarrow M_e = Q_2 = \frac{34 + 34}{2} = 34$$

• Tìm các Tứ phân vị còn lại ($Q_1, Q_3$):

  • Nửa bên trái $Q_2$ gồm bốn số liệu: $30; \quad 32; \quad 33; \quad 34$. Trung vị của nửa này là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: $Q_1 = \frac{32+33}{2} = 32,5$.

  • Nửa bên phải $Q_2$ gồm bốn số liệu: $34; \quad 35; \quad 36; \quad 38$. Trung vị của nửa này là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: $Q_3 = \frac{35+36}{2} = 35,5$.

• Mốt ($M_o$):

  Giá trị $34$ xuất hiện 2 lần (nhiều nhất trong mẫu). $\Rightarrow M_o = 34$.

IV. Mẹo tìm nhanh Tứ phân vị không lo bị sót điểm Chặn (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của Hay Học Hỏi đạt tốc độ phản xạ tối đa và không bao giờ bị nhầm lẫn khi tìm các khoảng $Q_1, Q_3$, chúng ta hãy sử dụng mẹo "Chia đôi đội hình":

• Bước 1: Bắt buộc phải xếp dãy số từ nhỏ đến lớn. Tìm $Q_2$ trước để làm mốc ranh giới chia dãy số làm hai nửa bằng nhau.

• Bước 2 (Quan trọng): * Nếu tổng số phần tử $n$ ban đầu là số lẻ (như câu a): Điểm nằm ngay vị trí $Q_2$ được coi là "trọng tài". Khi tìm $Q_1$ và $Q_3$, ta gạch bỏ hẳn số trọng tài này đi, chỉ lấy các số nằm hoàn toàn bên trái và hoàn toàn bên phải để tính trung vị tiếp theo.

  • Nếu tổng số phần tử $n$ ban đầu là số chẵn (như câu b, c): Vị trí ranh giới nằm ở khe giữa hai số. Lúc này, ta chia đôi đều đặn dãy số sang hai bên (mỗi bên giữ nguyên một nửa số lượng phần tử bằng nhau) rồi tìm trung vị độc lập của từng nửa.

Mẹo phân chia này giúp các em làm toán thống kê cực kỳ chính xác, tránh hoàn toàn lỗi nhầm lẫn khi xác định tập dữ liệu con!

V. Kết luận

Bài tập 5.7 là một câu hỏi thực hành thống kê vô cùng toàn diện, giúp học sinh bao quát trọn vẹn các công thức tính toán đặc trưng đo xu hướng trung tâm của mẫu số liệu không ghép nhóm. Việc rèn luyện tính cẩn thận khi sắp xếp dãy số và phân chia tứ phân vị chính xác sẽ giúp các em tự tin chinh phục điểm số tuyệt đối trong các bài kiểm tra.