Bài 4.34 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, mạch lạc từng bước bằng phương pháp chèn tâm đối xứng giúp các em dễ dàng tiếp thu.

I. Đề bài tập 4.34 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ tùy ý, ta luôn có hệ thức:

II. Các định lý và quy tắc vectơ cốt lõi cần nhớ

Để xử lý bài toán chứng minh vế bằng vế này, các em học sinh cần bám sát hai kiến thức hình học phẳng nền tảng sau:

1. Tính chất đường chéo hình bình hành: Trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, giao điểm $O$ của hai đường chéo vừa là trung điểm của đường chéo thứ nhất, vừa là trung điểm của đường chéo thứ hai.

2. Quy tắc trung điểm: Nếu điểm $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$, thì với mọi điểm $M$ bất kỳ ta luôn có đẳng thức vectơ:

   $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}$$

   Đặc biệt, khi điểm $M$ trùng với điểm $O$, ta có hệ thức vectơ-không quen thuộc: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.34

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trong hình bình hành $ABCD$.

Theo tính chất hình học của hình bình hành, ta suy ra:

• $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC \Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$

• $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD \Rightarrow \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

Chúng ta tiến hành biến đổi độc lập vế trái (VT) và vế phải (VP) của đẳng thức bằng cách chèn điểm $O$ để đưa về cùng một biểu thức trung gian:

• Bước 1: Khai triển vế trái (VT)

  $$\text{VT} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}$$

  Áp dụng quy tắc ba điểm, ta chèn điểm $O$ vào giữa hai vectơ trên:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}\right) + \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC}\right)$$

  Ta nhóm các vectơ đồng dạng đứng cạnh nhau:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO}\right) + \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\right)$$
  $$\text{VT} = 2\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{MO} \quad (1)$$

• Bước 2: Khai triển vế phải (VP)

  $$\text{VP} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$$

  Hoàn toàn tương tự, ta chèn điểm $O$ vào giữa cặp vectơ của vế phải:

  $$\text{VP} = \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}\right) + \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD}\right)$$

  Tiến hành nhóm các số hạng liên quan đến tâm $O$:

  $$\text{VP} = \left(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO}\right) + \left(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right)$$
  $$\text{VP} = 2\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{MO} \quad (2)$$

• Bước 3: Đối chiếu kết luận

  Từ kết quả rút gọn ở đẳng thức $(1)$ và $(2)$, ta nhận thấy cả hai vế đều bằng biểu thức trung gian $2\overrightarrow{MO}$.

  $$\Rightarrow \text{VT} = \text{VP} = 2\overrightarrow{MO}$$

Vậy hệ thức $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$ đã được chứng minh hoàn toàn chính xác với mọi điểm $M$.

IV. Phương pháp mở rộng: Biến đổi chuyển vế (Dành cho thi trắc nghiệm)

Ngoài cách chèn điểm $O$ ở trên, HayHocHoi.Vn bật mí cho các em thêm một cách tiếp cận đại số cực kỳ nhanh gọn bằng phương pháp chuyển vế đổi dấu. Cách này giúp các em lập luận trực tiếp bằng định nghĩa hình bình hành mà không cần gọi thêm điểm phụ $O$:

• Ta biến đổi đẳng thức đề bài cho bằng cách chuyển các vectơ đỉnh $A, B$ về một vế, đỉnh $C, D$ về một vế:

  $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}$$

• Áp dụng quy tắc hiệu (phép trừ chung gốc $M$), ta thu gọn hai vế:

  $$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$$

• Hệ thức $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ là một khẳng định luôn đúng do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (hai cạnh đối $AB$ và $CD$ song song, bằng nhau và hướng vectơ $\overrightarrow{BA}$ cùng chiều với $\overrightarrow{CD}$). Bài toán được chứng minh xong chỉ sau đúng 2 dòng biến đổi!

V. Kết luận

Bài tập 4.34 là một bài toán hình học vectơ rất đẹp mắt. Việc thành thạo cả hai phương pháp (chèn điểm trung điểm và biến đổi chuyển vế quy tắc hiệu) sẽ giúp học sinh xây dựng được tư duy linh hoạt, dễ dàng phá giải các câu hỏi hệ thức vectơ đa đỉnh phức tạp hơn trong phòng thi.