Giải bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 3.15 trang 44 Toán 10:

Cho tam giác ABC có , AC = 10. Tính a, R, S, r.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm góc A: Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘.

2. Tính R và a: Sử dụng định lý sin:$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$. Ta có $b=AC=10$.

3. Tính c: Tiếp tục sử dụng định lý sin để tìm cạnh c: $\frac{c}{sinC}=2R$.

4. Tính S: Sử dụng công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc.sinA$ hoặc các công thức khác.

5. Tính r: Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$, với $p$ là nửa chu vi tam giác.

Lời giải bài 3.15 trang 44 Toán 10:

Ta có hình minh họa như sau:

Xét ΔABC, có:

Lưu ý: a = BC; b = AC; c = AB

Theo định lý hàm sin ta có:

$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

$\Rightarrow a=\frac{b}{sinB}.sinA$ $=\frac{10}{sin60^0}.sin75^0=11,15$

$\Rightarrow 2R=\frac{b}{sinB}=\frac{20}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow R=\frac{10}{\sqrt{3}}$

Diện tích ΔABC là:

$S=\frac{1}{2}ab.sinC$ $=\frac{1}{2}.10.11,15.sin45^0\approx 39,42\: (dvdt)$

Mà: $\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{10}{sin60^0}$ $=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow c=\frac{20}{\sqrt{3}}sinC$ $=\frac{20}{\sqrt{3}}sin45^0=\frac{10\sqrt{6}}{3}$

Ta có: $S=pr=\frac{(a+b+c)r}{2}$

$\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}$ $=\frac{2.39,42}{11,15+10+\frac{10\sqrt{6}}{3}}=2,69$

Vậy $a=11,15;\: R=\frac{10}{\sqrt{3}};$  $S=39,42;\: r=2,69$