Bài 1.3 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hai câu sau:

P: "Tam giác ABC là tam giác vuông"

Q: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại"

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, bạn cần nắm vững định nghĩa của mệnh đề tương đương:

• Mệnh đề tương đương ($P\iff Q$) là một mệnh đề đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề kéo theo ($P\Rightarrow Q$) và ($Q\Rightarrow P$) đều đúng.

Nói cách khác, hai mệnh đề $P$ và $Q$ là tương đương khi $P$ xảy ra thì $Q$ cũng xảy ra, và ngược lại, $Q$ xảy ra thì $P$ cũng xảy ra.

Trong bài toán này, chúng ta cần:

1. Phát biểu mệnh đề tương đương: Sử dụng cụm từ "khi và chỉ khi" để nối hai mệnh đề $P$ và $Q$.

2. Chứng minh tính đúng sai:

   • Chứng minh $P\Rightarrow Q$: Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông thì nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

   • Chứng minh $Q\Rightarrow P$: Nếu tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại thì nó là tam giác vuông.

Nếu cả hai mệnh đề kéo theo trên đều đúng, thì mệnh đề tương đương $P\iff Q$ là một mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề tương đương P ⇔ Q  được phát biểu như sau:

"Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại"

Thật vậy, giả sử ba góc của tam giác ABC lần lượt là x, y, z (đơn vị ⁰).

• Nếu tam giác ABC có x = 90⁰ thì:

y + z = 180^o - 90^o

⇔ y + z = 90^o

⇔ y + z = x

Suy ra: Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại

• Nếu tam giác ABC có x = y + z

Ta có: x + (y + z) = 180^o

⇔ x + x = 180^o

⇔ x = 90^o

Suy ra tam giác ABC vuông.