Giải bài 2.6 trang 30 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đây là một bài toán tối ưu chi phí (tìm giá trị nhỏ nhất), với các biến $x$ và $y$ bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện.

• Phần a: Lập hệ bất phương trình. Chúng ta sẽ chuyển các điều kiện của bài toán (số lượng protein, lipid tối thiểu và số lượng thịt tối đa) thành các bất phương trình.

• Phần b: Biểu diễn hàm mục tiêu. Viết công thức tính tổng chi phí $F$ dựa trên giá tiền mỗi loại thịt.

• Phần c: Tìm giá trị nhỏ nhất. Theo Lý thuyết quy hoạch tuyến tính, giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của hàm mục tiêu sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (đa giác). Do đó, chúng ta chỉ cần tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của miền nghiệm để tìm ra chi phí ít nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn nên:

0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1

Trong x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn chứa số đơn vị protein là:

800x + 600y (đơn vị)

Do số đơn vị protein cần ít nhất là 900 đơn vị nên ta có:

800x + 600y ≥ 900 hay 8x + 6y ≥ 9

Trong x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn chứa số đơn vị lipid là:

200x + 400y (đơn vị)

Do số đơn vị lipid cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có:

200x + 400y ≥ 400 hay x + 2y ≥ 2

Khi đó ta có hệ bất phương trình: 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh là A(0,3; 1,1), B(0,6; 0,7), C(1,6; 0,2), D(1,6; 1,1).

b) Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn là:

F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng)

Vậy F(x; y) = 250x +  160y

c) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình ở câu a.

Người ta đã chứng minh được để số tiền mua là ít nhất thì (x; y) sẽ là tọa độ của một trong bốn đỉnh của tứ giác ABCD.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

F(0,3; 1,1) = 250 . 0,3 + 160 . 1,1 = 251;

F(0,6; 0,7) = 250 . 0,6 + 160 . 0,7 = 262;

F(1,6; 0,2) = 250 . 1,6 + 160 . 0,2 = 432;

F(1,6; 1,1) = 250 . 1,6 + 160 . 1,1 = 576.

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.