Bài 6 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là  và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải (Quy tắc Chuỗi)

1. Mối liên hệ: Chi phí $C$ là hàm hợp của $t$: $C(t) = C(x(t))$.

2. Tốc độ tăng chi phí theo thời gian: Là đạo hàm của hàm hợp $C'(t)$.

3. Công thức Quy tắc Chuỗi:

   $\mathbf{C'(t) = C'(x) \cdot x'(t)}$

   • Tính $C'(x) = (\sqrt{5x^2+60})'$ (Đạo hàm theo $x$).

   • Tính $x'(t) = (20t + 40)'$ (Đạo hàm theo $t$).

   • Tính $x(4)$ (Sản lượng tại $t=4$).

   • Thay $x=x(4)$ và $x'(4)$ vào công thức trên.

Giải bài 6 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có:

$C'(x)=(\sqrt{5x^2+60})'=\frac{(5x^2+60)'}{2\sqrt{5x^2+60}}$

$=\frac{10x}{2\sqrt{5x^2+60}}=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+60}}$

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x).x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

$C'(x(4)) = C'(120).x'(4)$ $=\frac{5.120}{\sqrt{5.120^2+60}}.20\approx 44,7$ (nghìn USD/tháng)

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.