Bài 7.12 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh. 

Phân tích và Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các lập luận logic sau:

• Tốc độ âm thanh không đổi: Vì ba thiết bị nhận được tín hiệu tại cùng một thời điểm, nên khoảng cách từ nguồn phát đến ba thiết bị đó phải bằng nhau.

• Mô hình hóa: * Gọi $H(a; b)$ là tọa độ vị trí phát tín hiệu âm thanh.

  • Theo đề bài, ta có hệ điều kiện: $HO = HA = HB$.

• Công thức khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $M(x_1; y_1)$ và $N(x_2; y_2)$ được tính bằng công thức:

  $MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Giải bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi. 

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB. 

Ta có:

$\overrightarrow{HO}=(-a;-b)$, $\overrightarrow{HA}=(1-a;-b)$, $\overrightarrow{HC}=(1-a;3-b)$

Nên có, chiều dài:

$HO=\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}$ $=\sqrt{a^2+b^2}$

$HA=\sqrt{(1-a)^2+(-b)^2}$ $=\sqrt{(a-1)^2+b^2}$

$HC=\sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2}$ $=\sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2}$

Vì  HO = HA nên

$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a-1)^2+b^2}$

⇔ a² + b² = (a – 1)² + b²

⇔ a² = a² – 2a + 1

⇔ 2a = 1

⇔ a = 1/2

Vì  HA = HB nên

$\sqrt{(a-1)^2+b^2}=\sqrt{(a-1)^2+(b-3)^2}$

⇔ (a - 1)² + b² = (a - 1)² + (b - 3)²

⇔ b² = b² – 6b + 9

⇔ 6b = 9

⇔ b = 3/2

Thay a = 1/2 và b = 3/2 vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn. 

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ $left ( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right )$